(IME 2020) O lugar geométrico definido pela equação x² + 3y² + 5 = 2x – xy – 4y representa

(A) uma elipse.
(B) uma hipérbole.
(C) uma circunferência.
(D) um conjunto vazio.
(E) duas retas paralelas. 

Solução: questão de geometria analítica que pode ser resolvida eliminando as opções de resposta.

Repare que o elemento (-x.y) elimina a possibilidade de o gráfico representar uma elipse, hipérbole ou circunferência.  Com isso, ficamos apenas com as opções d) e e).

A opção e) sugere que este gráfico represente duas retas paralelas, um pouco estranho.  Podemos verificar isso de uma forma simples:  no plano cartesiano, duas retas paralelas cortariam o eixo x, ou o eixo y, ou ainda ambos.  Então, vamos aplicar x=0:

3y² + 5 = – 4y
3y² + 4y + 5 = 0

Δ = b² - 4ac = 16 -4.3.5 = 16 - 60 = - 44

Não há raízes, pois Δ é negativo. Logo, esta equação não corta o eixo y.

Fazendo o mesmo para y=0.

x² + 5 = 2x
x² - 2x + 5 = 0

Δ = b² - 4ac = 4 - 4.1.5 = 4 - 20 = -16

Não há raízes, pois Δ é negativo. Logo, esta equação não corta o eixo x.  Concluímos assim que a equação do enunciado não representa duas retas paralelas.

Sendo assim, por eliminação,  ficamos com a opção d).

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Um forte abraço e bons estudos.