(EEAR CFS 2/2022) Seja a equação polinomial x3 + bx2 + cx + d = 0. Se (3 + i) e 2 são raízes dessa equação, então o valor de b + c + d é 

a) −6
b) −4
c) 4
d) 6

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021.

Em primeiro lugar, perceba que o polinômio é de grau 3 e já conhecemos as raízes { 2  e  3+i }.  Como (3+i) é raiz do polinômio, então o conjugado (3-i) também é raiz.  Com isso, as raízes do polinômio são:

{x1, x2, x3} = { 2, 3 + i, 3 - i }

Para encontrar os coeficientes b, c, d vamos usar as Relações de Girard para um polinômio de grau 3.

>>> x1+x2+x3 = -b/a     (Equação 1)

2 +  3 + i +  3 - i = -b/1
8 = -b
b = -8

>>> x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a   (Equação 2)

2 . (3 + i) + 2 . (3 - i) + (3 + i)(3 - i) = c/1
6 + 2i + 6 - 2i + 9 - i² = c
21 - (-1) = c
c = 21 + 1
c = 22

>>> x1.x2.x3 = -d/a         (Equação 3)

2  (3 + i) (3 - i) = -d/1
2  (9 - i²) = -d
2  (9 - (-1) ) = -d
2  (9 +1 ) = -d
2  (10) = -d
d = -20

Finalmente,  b + c + d = -8 + 22 +  (-20) = -6.  Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.