Questão sobre interseção de gráficos de funções reais de variável real.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UECE.
Enunciado da Questão
Os gráficos matemáticos são instrumentos fartamente utilizados em múltiplas atividades profissionais. No plano com o sistema de coordenadas cartesianas ortogonal usual, os gráficos das funções reais de variável real f e g, definidas por f(x) = 2x2 – 3 e g(x) = 4x possuem dois pontos de interseção. O produto das coordenadas desses pontos é igual a
A) – 48.
B) 24.
C) – 24.
D) 48.
Resolução Comentada
Para encontrar os pontos de interseção, vamos igualar as funções f(x) e g(x).
➡️ g(x) = 4x = (22)x = 22x
➡️ f(x) = 2x2 – 3
f(x) = g(x)
2x2 – 3 = 22x
x² – 3 = 2x
x² – 2x – 3 = 0
Estamos diante de uma equação do segundo grau: ax2 + bx + c = 0. A soma das raízes é dada por –b/a e o produto é c/a. Na equação x2 – 2x – 3 = 0, os coeficientes são a = 1, b = –2, c = –3.
- x₁ + x₂ = –(–2)/1 = 2
- x₁ · x₂ = –3/1 = –3
Procuramos dois números cuja soma vale 2 e cujo produto é –3. As raízes são x₁ = –1 e x₂ = 3.
Prova real
Vamos testar os valores de x encontrados na equação inicial 2x² – 3 = 22x. Esse teste também vai nos dar os valores correspondentes de y.
Para x₁ = –1
2[(–1)2 – 3] = 2[2·(–1)]
2(1 – 3) = 2–2
2–2 = 2–2 ✅
Para x₂ = 3
2[(3)2 – 3] = 2(2 · 3)
2(9 – 3) = 26
26 = 26 ✅
Para x = –1, temos y = 2–2 = 1/4. Para x = 3, temos y = 26 = 64. Os dois pontos de interseção são (–1, 1/4) e (3, 64).
Cálculo do produto das coordenadas
✅ Resposta Correta
(A) – 48
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Um forte abraço e bons estudos.
