(EEAR CFS 1/2025)  Ao dividir o polinômio P(x) por (x − 2) obtém-se resto 3 e ao dividir P(x) por (x − 3) obtém-se resto 12. Então, ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) obtém-se resto ________ .  a) x 2 − 5 b) −3x + 6 c) 2x − 10 d) 9x − 15 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2025 .  Prova aplicada em 14/07/2024. Para resolver essa questão, vamos utilizar o Teorema do Resto . Ao dividir P(x) por  (x − 2).(x − 3), estamos dividindo P(x) por um polinômio de grau 2, vejamos: (x − 2).(x − 3) = x 2 -3x -2x + 6 = x 2  - 5x + 6 Neste caso, o grau do polinômio do resto dessa divisão será de grau 1 ou inferior.  Ao dividir P(x) por (x − 2).(x − 3) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x) = ax + b.  Vamos reescrever P(x). P(x) = (x − 2)·(x − 3)·Q(x) + R(x...

(UECE 2024.1)  Se o resto da divisão do polinômio P(x), de grau n > 1 e coeficientes reais, por x+1 é igual a 4 e se a soma dos coeficientes das potências x p em P(x) com p um número ímpar for igual a 2016, então, a soma dos coeficientes de x p  em P(x) com p um número par é igual a  A) 2018. B) 2016. C) 2020. D) 2022. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023. Uma questão muito interessante sobre polinômios, vamos resolvê-la utilizando o Teorema do Resto. Quando P(x) é dividido por (x+1) e deixa resto igual a 4, pelo Teorema do Resto, temos que P(-1) = 4 O enunciado da questão deixa nítido para nós que qualquer polinômio de grau n > 1, que deixa resto igual a 4 ao ser dividido por x+1 e também possui "soma dos coeficientes das potências x p  em P(x) com p um número ímpar" igual a 2016, terá a "soma dos coeficientes de x p ...

(UECE 2023.1)  Ao dividirmos o polinômio P(x) = x 6 - 1 por x + 2, obtemos o resto R e o quociente Q(x). O resto da divisão de Q(x) por x - 1 é igual a  A) - 31. B) - 61. C) - 41. D) - 21. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 06/11/2022. Podemos resolver essa questão fazendo a divisão dos polinômios, entretanto será um método mais trabalhoso.  Por este motivo, vamos resolvê-la utilizando o Teorema do Resto.  Para uma revisão sobre este tema, você pode consultar o link a seguir: >> Aplicação do Teorema do Resto em questões sobre polinômios . **É importante acosturmar-se com a aplicação do Teorema do Resto, pois ele pode te ajudar a resolver questões sobre polinômios de forma mais eficiente. Quando dividimos P(x) = x 6  - 1 por (x + 2)  ; note aí que (x+2) é um binômio da forma (a.x+b), logo temos que P ("raiz do binômio")...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões de matemática sobre polinômios que envolvem a aplicação do Teorema do Resto. As questões são provenientes de vestibulares, concursos militares e concursos para professor de matemática para você que está se preparando para exames neste ano. Teorema do Resto: Quando dividimos o polinômio P(x) por um binômio da forma ax+b, temos que: P ( raiz do binômio ) = Resto da divisão de P(x) por ax+b Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos as questões e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Desejamos sucesso na sua preparação. Exercícios de Polinômios >> Teorema do Resto Exercício 1 -  (Escola de Aprendizes-Marinheiros 2021)   Encontre o valor de K para que o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4kx + 2 por 2x - 6 seja 5, e marque a opção correta. a) 9/2  b) 7/2  c) 11/2  d) 10/2  e) 12/2 >> Link para a solução da questão Exercício 2 -  (Concurso: Professor de Matemátic...

(FAMEMA 2022) Os restos das divisões de um polinômio D(x) por x+2 e por x - 4 são, respectivamente, 4 e −2.  O resto da divisão de D(x) por x² - 2x - 8 é  (A) 2. (B) x + 2. (C) x - 2. (D) - x + 2. (E) - x - 2. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021. Ao dividirmos o polinômio D(x) por um divisor igual a x² - 2x - 8 teremos um quociente Q(x) e um resto R(x).  Podemos escrever da seguinte maneira: D(x) = (x² - 2x - 8) . Q(x) + R(x) O grau do divisor é 2, então o grau do resto tem que ser menor que 2. No máximo, o resto terá grau igual a 1.   **Repare nas opções de resposta, todas elas são polinômios de grau 1 ou 0. Vamos então substituir R(x) por ax+b. D(x) = (x² - 2x - 8) . Q(x) + ax + b Agora, vamos recorrer ao teorema do resto.  O enunciado afirma que  >> o resto da divisão do polinômio...

(EEAR CFS 2/2021) Dados os polinômios P(x) = x² + ax - 3b e Q(x) = -x³ + 2ax - b, ambos divisíveis por (x-1), então a soma a+b é:  a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) 7/5 Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2021. Prova aplicada no dia 22/11/2020. Nesta questão sobre polinômios, já que os dois são divisíveis por (x-1), então isto quer dizer que o resto da divisão deles por (x-1) é igual a 0.  Sendo assim, nós podemos dividir os dois polinômios por (x-1) e encontraremos valores para o resto, depois igualamos estes valores a 0 e isto nos fornecerá os valores de a e b .  Entretanto, vamos utilizar outra estratégia, vamos utilizar o teorema do resto. Quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax+b, temos que: P ( raiz do binômio ) = Resto da divisão de P(x) por ax+b Calculando a raiz de (x-1) x-1 = 0 x = 1 Como sabemos que o resto da divisão de P(x) e Q(x) por (x-1) é igual a zero, então: P(1) = 0...

(EEAR CFS 1/2022) Sejam A e B os restos das divisões de P(x) = x 3 − 3x 2 − 4x + 6 por, respectivamente, x + 2 e x − 3. Desta forma, pode-se afirmar que  a) A = B b) A = 2B c) B = 2A d) A = −B Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Nesta questão sobre polinômios, podemos adotar dois caminhos:  um deles, é dividir os polinômios e encontrar os valores para os dois restos.  Caso precise, veja no artigo a seguir como fazer a divisão de polinômios - passo a passo . O caminho que vamos utilizar é adotar o  Teorema do Resto .  Quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax+b, temos que: P ( raiz do binômio ) = Resto da divisão de P(x) por ax+b Desse modo, vamos iniciar encontrando as raízes de x + 2 e x − 3. x+2 = 0    e     x-3 = 0  x = -2                x = 3 >> ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2021) Encontre o valor de K para que o resto da divisão de P(x) = 5x² - 4kx + 2 por 2x - 6 seja 5, e marque a opção correta. a) 9/2  b) 7/2  c) 11/2  d) 10/2  e) 12/2 Solução: nesta questão sobre polinômios, vamos utilizar o Teorema do Resto .  Quando dividimos P(x) por um binômio da forma ax+b, temos que: P ( raiz do binômio ) = Resto da divisão Primeiramente, vamos calcular a raiz de 2x - 6. 2x - 6 = 0 2x = 6 x = 3 Agora, vamos aplicar P ( 3 ) = 5. P ( 3 ) = 5. 3² - 4.k.3 + 2 = 5 5. 9 - 12.k + 2 = 5 45 + 2 - 5 = 12 k 42 = 12 k k = 42/12 k = (6.7)/(6.2) k = 7/2 Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros . Um forte abraço e bons estudos.

(IME 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x-2, x-3 e x-5 deixa restos 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x-2)(x-3)(x-5) é:  (A) 1 (B) x (C) 30 (D) x-1 (E) x-30 Solução:  uma questão muito interessante sobre divisão de polinômios do IME (Instituto Militar de Engenharia) do exame de 2019/2020. Ao dividirmos um polinômio P(x) por um divisor (x-2)(x-3)(x-5) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x).  Podemos escrever da seguinte maneira: P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + R(x) Analisando as opções de resposta, o resto do polinômio é do tipo R(x) = a.x + b, ajustando nossa equação polinomial: P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + a.x+b Além disso, foi informado que: P(x) / (x-2) dá resto 2. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(2) = 2. P(x) / (x-3) dá resto 3. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(3) = 3. P(x) / (x-5) dá resto 5. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(5) = 5. Aplicando na equação polinomial P(2) = (2-...

(Vunesp 2020) Considere os polinômios Para que p(x) seja divisível por q(x), é necessário que m seja igual a  (A) 30. (B) 12. (C) –12. (D) –3. (E) –30. Solução: questão sobre polinômios da Vunesp que também envolve determinantes de matrizes. Por meio do método de Sarrus, podemos desenvolver o determinante de ordem 3 e encontrar que p(x) = x³ + x² - 2x - m >> Veja aqui como calcular um determinante de ordem 3 pelo método de Sarrus. Desenvolvendo o determinante de ordem 2 encontraremos q(x) = x-3 >> Veja aqui como calcular um determinante de ordem 2 . O objetivo da questão é encontrar o valor de m de modo que p(x) seja divisível por q(x). Repare que q(x) é um polinômio de grau 1, logo, pelo Teorema do Resto, se aplicarmos a raiz de q(x) no polinômio p(x) o resultado será o seu resto e que este deverá ser 0. P ( raiz de q(x) ) = Resto =  0 A raiz de q(x) vale 3   , já que x-3 = 0  //  x = 3. P ( 3) = 0  = 3³ + 3² - 2.3 - m = 0 27 + 9 -6 = m...

(Concurso: Professor de Matemática - Rio das Ostras - RJ. Banca: IBAM.   Ano:  2019)    Dividindo-se o polinômio 2x³ + kx² - x - 7  por (2x-4), obtém-se resto 11.  O valor de k é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 Solução: questão muito interessante da última prova para professor de matemática do município de Rio das Ostras, no interior do Estado do RJ.  Esse concurso para docentes foi organizado pela banca IBAM. Nesta questão, os temas cobrados são divisão de polinômios e o teorema do resto.  Podemos resolvê-la de duas formas: Método 1 - Pelo Teorema do Resto (mais prático) Método 2 - Método "braçal" de dividir um polinômio pelo outro Vamos deixar resolvido aqui pelas duas formas para que você visualize a diferença. Método 1 - Teorema do Resto Ao dividir p(x) = 2x³ + kx² - x - 7   por    q(x) = (2x-4) obteremos resto 11.  Então, P [ raiz de q(x) ] = 11 A raiz de q(x) é 2, isso porque: 2x-4 = 0 2x = 4 x = 2...

(EsPCEx 2019) Dividindo-se o polinômio P(x) = 2x 4 - 5x 3 + kx - 1 por (x-3) e (x+2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a [A] 10.    [B] 9.    [C] 8.    [D] 7.    [E] 6. Solução:  questão sobre polinômios onde precisaremos realizar as duas divisões e ao final igualar os restos para obter o valor de k.  Atenção porque esta é uma questão muito boa para praticar a divisão de polinômios quando nem todos os seus coeficientes são números. Se você ainda não estudou o mecanismo da divisão de polinômios, recomendo este exercício introdutório. >> Exercício resolvido de divisão de polinômios. Continuando esta resolução, a divisão de  (2x 4  - 5x 3  + kx - 1) por (x-3)   gera resto: 3k+26 A divisão de  (2x 4  - 5x 3  + kx - 1) por (x+2)   gera resto: -2k+71 Agora basta igualar: 3k+26 = -2k + 71 5k = 71-26 5k = 45 k = 9 Alternativ...