(Exercício sobre PG infinita) Com a crise brasileira, certo estabelecimento comercial passou a ter uma queda enorme em suas receitas.  No primeiro ano da crise, sua receita foi de R$ 100.000,00 e, a partir de então, passou a cair 25% ano após ano.   O empresário tomou a decisão de não fechar o negócio, mesmo com essas quedas anuais, na esperança de uma retomada.

Dado o exemplo ilustrativo acima,  considerando que no primeiro ano o faturamento foi de R$ 100.000,00 e passou a cair 25% ano após ano, qual será o somatório das receitas anuais desta empresa?

Solução:  estamos diante de um problema que envolve uma PG infinita.

PG = {100 mil, 75 mil, 56,25 mil, 42,19 mil , .....}  note que os termos dessa PG ficarão cada vez mais próximos de zero.

Sabemos que a fórmula da Soma de uma PG infinita é

S = a1 / (1- q)

A razão dessa PG é dada por q = a2/a1 = 75/100 = 3/4

Aplicando na fórmula temos:

S = 100.000 / (1 - 3/4)
S = 100.000 / (1-0,75)
S = 100.000 / (0,25)
S = 400.000

Ou seja, caso o empresário decida manter a empresa aberta ano após ano, neste cenário de queda de 25% anual de receita, tudo que ele vai conseguir faturar é R$ 400.000,00.

Curiosidade:  com a ajuda do Excel, podemos ver um gráfico e tirar algumas conclusões interessantes sobre esta PG infinita.  O excel ajuda bastante a estudarmos esse tema de uma forma um pouco mais ilustrada.



Veja como a receita que cai 25% a.a. tende a ir se aproximando de zero conforme o tempo vai caminhando para o infinito.  As quedas mais consideráveis acontecem logo nos primeiros anos.

Com a ajuda do Excel:


  • Soma dos 10 primeiros anos = 377,47 mil
  • Soma dos 20 primeiros anos = 398,73 mil
  • Soma dos 40 primeiros anos = 399,99 mil


Dá para tirar algumas conclusões desse gráfico e dessa situação empresarial fictícia, já que nenhuma empresa terá uma queda constante de 25% anualmente assim "tão perfeita". Embora algumas empresas encerrem as suas atividades, outras tendem a encontrar novos métodos, explorar novos mercados e a reverter cenários adversos.  Com isso, tais empresas voltam a crescer suas receitas no médio e longo prazo quando passam por momentos de crise.

Espero que este exercício tenha te ajudado a compreender PG infinita e como calcular o somatório dos seus termos.

Aproveite e confira uma lista de exercícios de PA e PG.

 Um forte abraço e bons estudos.