(IME 2020) Seja 𝐴 = { 𝑧 ∈ 𝐶 | 2 ≤ |𝑧 − 3 − 4𝑖| ≤ 3} onde 𝐶 é o conjunto dos números complexos. O valor do produto entre o simétrico do complexo de menor módulo do conjunto 𝐴 e o conjugado do complexo de maior módulo do mesmo conjunto 𝐴 é:  (A) -16 (B) -8 (C) -16/5 (D) 1 (E) 16 Solução: questão sobre números complexos do IME (prova de 2019/2020) , nesta resolução, vamos usar x como a parte real do número complexo e y a parte imaginária, sendo assim, os números complexos do conjunto A terão a forma: z = x + yi , respeitando o limite a seguir: 2 ≤ | x + yi - 3 - 4𝑖 | ≤ 3 2 ≤ | (x − 3) + (y − 4) 𝑖 | ≤ 3 O módulo de um número complexo z = a + b.i  é dado por  √(a² + b²). 2  ≤    √ [(x-3)² + (y-4)² ]    ≤  3 √ [(x-3)² + (y-4)² ]   ≥   2      e      √ [(x-3)² + (y-4)² ]  ≤  3 (x-3)² + (y-4)²    ≥   2²           e      (x...

(IME 2021) Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação a base pentagonal satisfaz:   (A) 2,9 ≤ h ≤ 3,0 (B) 3,8 ≤ h ≤ 4,0 (C) 4,8 ≤ h ≤ 4,9 (D) 5,8 ≤ h ≤ 6,0 (E) 6,1 ≤ h ≤ 6,2 Solução:  uma questão muito interessante de geometria espacial do IME 2020/2021 que envolve o volume da pirâmide cuja base é um pentágono regular.  Na figura a seguir, estão ilustradas a pirâmide maior de volume V 0 que é o copo exótico de vidro, e a pirâmide menor de volume V 1 que representa a bebida que está dentro desse copo. Essas duas pirâmides são semelhantes, a razão de semelhança é 8/9.  Temos que (razão de semelhança) 3 = V 1 /V 0 (8/9) 3  = V 1 /V 0 V 1  = (8/9) 3  V 0    (Equação I) Agora, a...

(IME 2021) Determine a soma dos coeficientes de x 3  na expansão de  (1 + x) 4 (2 − x 2 ) 5 . (A) -320    (B) -288    (C) -192    (D) 128    (E) 320 Solução: questão do IME onde podemos aplicar a fórmula do termo geral do Binômio de Newton. Seja: A =  (1 + x) 4   B = (2 − x 2 ) 5 Perceba que na parte A, os coeficientes são multiplicados por xº, x¹, x², x³, x 4 .  Já na parte B, eles são multiplicados por xº, x², x 4 , até x 10 . Só há dois casos (C1 e C2) para obtermos x³ no produto AxB. C1:  x³ . xº     ou    C2:  x¹ . x² . Na parte A os coeficientes de x¹ e x³ são facilmente obtidos, veja: A =  (1 + x) 4   = (1+2x + x²) . (1+2x + x²) x¹::   2x+2x = 4x     e   x³ :: 2x³ + 2x³ = 4x³ Na parte B, o coeficiente de xº é o (2 5  = 32 ), já o coeficiente de x² será encontrado por meio da fórmula do termo geral do Binômio de Newton:   ...

(IME 2020) Considere a função f(x) = √(x-a)  , x ≥ a, onde a é um número real positivo. Seja s a reta secante ao gráfico de f em ( 2a, f(2a) ) e ( 5a, f(5a) ) e t a reta tangente ao gráfico de f que é paralela à reta s .  A área do quadrilátero formado pela reta s , a reta t , a reta x=2a e a reta x=5a é √2 unidades de área.  O valor de a , em unidades de comprimento, é: a) 2√2     b) 4    c) 2    d)  3√2    e) 2  3 √4 Solução: nesta questão de matemática do IME, vamos utilizar o cálculo diferencial para encontrar o ponto de tangência da reta t em f(x) e a integral para o cálculo de área. Sendo assim, vamos adotar como estratégia calcular a área do paralelogramo usando a integral definida a seguir: Onde t e s representam, respectivamente, as  equações da reta tangente e da reta secante. Então, v amos obter as equações das retas: s e t. >>> Obtendo s: A reta s passa pelos pontos  (2a, ...

(IME 2021) Considere que a ≠ 0, b ≠ 0 e (a + b) ≠ 0. Sabendo-se que (a/b) + (b/a) = 3, determine o valor de a) 0,1   b) 0,3   c) 0,6   d)  0,8   e) 1,0 Solução:  nesta questão de matemática do IME 2020/2021 vamos fazer operações com o produto notável (a+b)².  Desenvolvendo a primeira equação: (a/b) + (b/a) = 3 (a² + b²) / (a.b) = 3 a² + b² = 3ab    [Eq. I] Além, disso, sabemos que no produto notável (a+b)² temos o seguinte desenvolvimento: (a+b)² = a² + 2ab + b² a² + b² = (a+b)² - 2ab  [Eq. II] Igualando Eq. I  e  Eq. II. 3ab = (a+b)² - 2ab (a+b)²  = 5ab  [Eq. III] Vamos agora trabalhar na razão do enunciado: a² + b² /  2 (a+b)² Vamos aplicar no denominador a Eq. I e no numerador a Eq. III. (3ab) / (2 . 5ab) = 3/10 = 0,3. Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática resolvidas do IME. Um forte abraço e bons e...

(IME 2021) Sejam z1 e z2 dois números complexos tais que |z1| = 4,  |z2| = 3 e |z1 + z2| = 6. O valor de |z1 - z2| é: (A) √7    (B) √3 / 3   (C) 1    (D) √14    (E) 2√3 Solução: questão de matemática sobre números complexos do IME 2020/2021, onde utilizaremos algumas operações com números complexos, como a soma de números complexos, subtração de números complexos e o cálculo do módulo de um número complexo. z1 = a + bi ;   |z1| =  √(a² + b²) = 4      [Eq. I] z2 = c + di ;   |z2| =  √(c² + d²) = 3      [Eq. II] Das equações I e II temos: a² + b² = 16   e     c² + d² = 9 Temos que a² + b² + c² + d² = 16 + 9 = 25 Somando esses dois números complexos z1 + z2 = a+c + (b+d)i ;   |z1 + z2| =   √[(a + c)² + (b + d)²]  =  6   [Eq. III] (a + c)² + (b + d)²  =  36 a² + 2ac + c² + b² + 2bd + d² = 36 25 + 2(ac + bd...

(IME 2021) Considere o sistema de equações: onde x, y e z são variáveis e k é uma constante numérica real.  Esse sistema terá solução se: (A) k < −2 (B) −2 < k < 0 (C) 0 < k < 2 (D) 2 < k < 4 (E) k > 4  Solução:  nesta questão de Matemática do IME 2020/2021, vamos simplificar um sistema de equações logarítmicas até chegarmos num sistema linear, e também usaremos a condição de existência dos logaritmos. Aplicando as condições de existência dos logaritmos nas equações do sistema, temos:  -2x + 3y + k >0 k > 2x - 3y z>0 1-y > 0 y < 1 x>0 e x ≠ 1 Vamos resolver o sistema: log (-2x + 3y + k) = log (3.z) -2x + 3y + k = 3z (Equação I) 1-y = x (Equação II) x + z = 1 (Equação III) Agora, temos um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas.  Vamos colocar y e z em função de x usando as equações I e II, e depois substitui-los na equação III para encontrar o valor da constante k. y = 1-x z = 1- x Aplicando na Equaçã...

(IME 2021) Seja a equação 7 4x - 10 . 7 3x + 17.7 2x + 40.7 x = 12.7 Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:  (A) pode-se construir um triângulo escaleno. (B) pode-se construir um triângulo isósceles. (C) pode-se construir um quadrilátero. (D) pode-se construir um pentágono. (E) não é possível construir qualquer polígono. Solução:  questão de matemática muito rica do IME (Instituto Militar de Engenharia) que engloba temas como equações exponenciais, equações polinomiais, logaritmos e geometria. Na equação dada, vamos fazer a substituição a seguir:   7 x  = y.  Assim, teremos a seguinte equação polinomial de grau 4. y 4 - 10 y 3  + 17. y 2  + 40. y - 2.2.3.7 = 0 São fortes candidatos a raiz desse polinômio: {1, 2, 3, 7 e estes mesmos números multiplicados por -1} Encontraremos (y = 2) como uma das...

(IME 2021) Seja a matriz M = onde z é o número complexo z = cos(4π/3) + i sen(4π/3), e    z    o seu conjugado e os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de M é: Solução: nesta questão de matemática do IME, vamos trabalhar vários conceitos, como os números complexos, conjugado de um número complexo, potência de números complexos, forma trigonométrica ou polar dos números complexos, seno e cosseno de arcos no ciclo trigonométrico e determinantes de matrizes.  Note que com uma única questão, o IME consegue englobar vários temas diferentes. Repare que o determinante da matriz é:  D = z² +  z .  Seja z = cos (240º) + i sen(240º) z = - cos (60º) + i [-  sen(60º)] z = - 1/2 - i (√3)/2 ;   sendo assim,   z     = - 1/2 + i (√3)/2   z² = z . z = - 1/2 + i (√3)/2 D = z² +  z     D = 2 ( -1/2 + i (√3)/2) O ângulo tem cosseno negativo e seno positivo, logo está no 2° quadra...

(IME 2021) Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é p/q, com p e q primos entre si, o valor de p + q é:   (A) 5 (B) 19 (C) 257 (D) 419 (E) 4097 Solução: questão muito interessante de probabilidade do IME (Instituto Militar de Engenharia) que envolve também o conceito de números primos entre si. Vamos a resolução passo a passo. Após a vitória de José contra Maria, esta soma 0 pontos e aquele 1.  Faltam 4 jogos para os competidores, então para José terminar na frente de Maria, basta que a quantidade de vitórias de Maria seja menor ou igual a quantidade de v...

(IME 2021) No que diz respeito a posição relativa das circunferências representadas pelas equações  x² + y² − 6x − 8y = 11  x² + y² − 8x + 4y = −16 pode-se afirmar que elas são: (A) exteriores. (B) tangentes exteriores. (C) tangentes interiores. (D) concêntricas.  (E) secantes. Solução:  questão de geometria analítica do IME  (Instituto Militar de Engenharia) que aborda o conceito de posição relativa entre circunferências.  Vamos colocar as equações das duas circunferências no formato da equação reduzida da circunferência. Fazendo isso, vamos obter as coordenadas do centro de cada circunferência e seus raios.  Em seguida, vamos também calcular a distância entre os centros das duas circunferências e comparar com as medidas de seus raios. Curiosidade: esta questão do IME do exame de 2020/2021 tem características semelhantes a uma questão da UFPR 2020 sobre circunferências tangentes , que vale a pena resolvê-la também. >> Equação 1:...

(IME 2020) Seja U o conjunto dos 1000 primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja A ⊆ U o conjunto de números cuja representação na base 10 tem o algarismo mais significativo igual a 1; e B ⊆ U o conjunto de números cuja representação na base 4 tem o algarismo mais significativo igual a 2. As cardinalidades de A - B e de B - A são, respectivamente:  (A) 46 e 277 (B) 45 e 275 (C) 44 e 275 (D) 45 e 277 (E) 46 e 275 Observação:  • cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto. Solução:  questão de teoria dos conjuntos do exame do IME 2019/2020 que envolve também a mudança de base de números naturais. A = {1 ; 10, ......, 19 ; 100, ......,  199 ; 1000 } Para formarmos o conjunto B, primeiramente vamos converter 1000 que está na base 10 para a base 4, utilizando o método das divisões sucessivas. Temos que os elementos do conjunto B estão limitados entre (1) 4 e (3322...

(IME 2020) O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que 1800 está no intervalo:  (A) [1,16000] (B) [16001,17000] (C) [17001,18000] (D) [18001,19000] (E) [19001, ∞) Solução:   nesta questão de matemática do IME (Instituto Militar de Engenharia), teremos que calcular a  quantidade de divisores de um número .  Primeiramente, vamos decompor 1800 em fatores primos.  Temos que 1800 = 2³.3².5².  O número de divisores de 1800 é dado por (3+1).(2+1).(2+1) = 4.3.3 = 36 divisores.   A decomposição de 36 é dada por 36 = 2.2.3.3.   Queremos encontrar o número N, que é o menor número natural ímpar que também possui 36 divisores.   Para ser ímpar, a decomposição de N não pode conter a base 2, apenas as bases 3, 5, 7, 11, ... Poderíamos pensar em 3 35 , que também possui 36 divisores, mas este número será enorme, existem outros menores. Pense, por exemplo, em 3 5 .5 5 , também teria (5+1)(5+1) = 36 divisore...

(IME 2020) Um triângulo equilátero é projetado ortogonalmente em um plano, gerando um triângulo isósceles, cujo ângulo desigual mede 30º . O cosseno do ângulo do plano do triângulo equilátero com o plano de projeção é: a) 2√3 - 3  b) 4 - 2 √3   c) 2 - √3   d) 1 - √3   e) (√3)/2  - 1 Solução: questão de geometria muito boa do IME (Instituto Militar de Engenharia), aplicada no exame de 2019/2020. Vamos resolver essa questão passo a passo, primeiramente, vamos desenhar em uma folha o triângulo equilátero de lado ( L ). Agora, para facilitar a visualização e compreensão do problema, proponho a você o seguinte exercício: fixe a parte esquerda dessa folha com sua mão esquerda e com a mão direita, comece a girar a parte direita da folha, trazendo-a para um ângulo θ de 90º. Este ângulo representa o ângulo entre o plano da mesa e o plano da folha de papel. Quando (θ=90º), você perceberá que a projeção do triângulo equilátero no plano da...

(IME 2020) Diversos modelos de placas de identificação de veículos já foram adotados no Brasil. Considere os seguintes modelos de placas e a descrição de sua composição alfanumérica:  Modelo 1: AB123 (duas letras seguidas de três números)  Modelo 2: AB1234 (duas letras seguidas de quatro números)  Modelo 3: ABC1234 (três letras seguidas de quatro números)  Modelo 4: ABC1D23 (três letras seguidas de um número, uma letra e dois números)  Sejam c1, c2, c3 e c4 as quantidades das combinações alfanuméricas possíveis para os modelos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os números c1, c2, c3 e c4 são termos de uma progressão aritmética com infinitos termos com a maior razão possível. A soma dos algarismos da razão dessa progressão é:  (A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 19  Observação: • considere o alfabeto com 26 letras. Solução:  questão muito interessante que combina os temas análise combinatória, PA (Progressão aritmética) e MDC (Máximo Divisor Comum). Qu...

(IME 2020) Um inteiro positivo é escrito em cada uma das seis faces de um cubo. Para cada vértice, é calculado o produto dos números escritos nas três faces adjacentes. Se a soma desses produtos é 1105, a soma dos seis números das faces é:  (A) 22 (B) 35 (C) 40 (D) 42 (E) 50 Solução:  questão de matemática interessante do IME (Instituto Militar de Engenharia) que envolve conceitos de geometria espacial, como os elementos de um cubo, além de fatoração de números e operações algébricas.  Vamos ilustrar nosso problema para simplificar os cálculos: Sejam os números inteiros positivos escritos nas faces horizontais, "a", "b", "c" e "d", com "a" sendo a mais próxima de quem visualiza o desenho, as faces verticais, "e" e "f", onde "e" é a inferior e "f" a superior, e os vértices V1 até V8 de acordo com a ilustração.  Temos que: V1 = ade V2 = abe V3 = bce V4 = cde V5 = adf V6 = abf V7 = bcf V8 = cdf ...

(IME 2020) Um polinômio P(x) de grau maior que 3 quando dividido por x-2, x-3 e x-5 deixa restos 2, 3 e 5, respectivamente. O resto da divisão de P(x) por (x-2)(x-3)(x-5) é:  (A) 1 (B) x (C) 30 (D) x-1 (E) x-30 Solução:  uma questão muito interessante sobre divisão de polinômios do IME (Instituto Militar de Engenharia) do exame de 2019/2020. Ao dividirmos um polinômio P(x) por um divisor (x-2)(x-3)(x-5) teremos um quociente Q(x) e um resto R(x).  Podemos escrever da seguinte maneira: P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + R(x) Analisando as opções de resposta, o resto do polinômio é do tipo R(x) = a.x + b, ajustando nossa equação polinomial: P(x) = (x-2)(x-3)(x-5) . Q(x) + a.x+b Além disso, foi informado que: P(x) / (x-2) dá resto 2. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(2) = 2. P(x) / (x-3) dá resto 3. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(3) = 3. P(x) / (x-5) dá resto 5. Logo, pelo Teorema do Resto, temos que P(5) = 5. Aplicando na equação polinomial P(2) = (2-...

(IME 2019) Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo? a) 1/2   b) 3/76   c)  9/400  d) 1/80   e)  3/80 Vamos calcular o número de elementos do evento esperado n(E) e do espaço amostral n(U). O número de elementos do espaço amostral é igual a 20 x 20 = 400      [n(U) = 400] Os eventos que farão com que você vença, são aqueles nas quais a soma dos dois dados será superior a 35. Se no primeiro lançamento você tirar qualquer número igual ou inferior a 15, então você já perdeu o jogo. Porém, >> Se você tirar o 16, então, no...

(IME - 2018)  Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2.  Sua área total é de 28 cm 2 .  Calcule o valor da diagonal do referido prisma. a) √17 cm b) √19 cm c) √21 cm d) 2√7 cm e) √29 cm Exercício Resolvido:   Esta é uma questão bem inteligente que cobra conhecimentos de progressão geométrica e geometria espacial em um mesmo exercício. Podemos ilustrar o prisma da seguinte maneira. Como  as três arestas estão em uma PG de razão 2, teremos: PG = { a1, a2, a3}   =    { a1, 2a1, 4a1} Podemos então re-escrever nosso desenho da seguinte maneira: O problema nos informou que a área total desse prisma é de 28 cm 2 . AT = 2 x (a1x4a1) + 2 x (a1x2a1) + 2 x ( 2a1x4a1) AT = 2 x (4a1 2 ) + 2 x (2a1 2 ) + 2 x (8a1 2 ) AT = (8 + 4 + 16) (  a1 2  ) AT = 28  a1 2 =  28 cm 2 Temos então que a1 = 1 cm Assim podemos re-escrever nossa P...