(IME 2021) Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é p/q, com p e q primos entre si, o valor de p + q é:  

(A) 5 (B) 19 (C) 257 (D) 419 (E) 4097

Solução: questão muito interessante de probabilidade do IME (Instituto Militar de Engenharia) que envolve também o conceito de números primos entre si. Vamos a resolução passo a passo.

Após a vitória de José contra Maria, esta soma 0 pontos e aquele 1.  Faltam 4 jogos para os competidores, então para José terminar na frente de Maria, basta que a quantidade de vitórias de Maria seja menor ou igual a quantidade de vitórias de José daí pra frente.  O primeiro passo é visualizarmos quais são estes cenários.  Vamos usar V para designar vitória e D para derrota.


>>José  (V=0) E Maria (V=0)

>>José  (V=1) E  Maria (V=0)
>>José  (V=1) E  Maria (V=1)

>>José  (V=2) E  Maria (V=0)
>>José  (V=2) E  Maria (V=1)
>>José  (V=2) E  Maria (V=2)

>>José  (V=3) E  Maria (V=0)
>>José  (V=3) E  Maria (V=1)
>>José  (V=3) E  Maria (V=2)
>>José  (V=3) E  Maria (V=3)

>>José  (V=4) E  Maria (V=0)
>>José  (V=4) E  Maria (V=1)
>>José  (V=4) E  Maria (V=2)
>>José  (V=4) E  Maria (V=3)
>>José  (V=4) E  Maria (V=4)

No segundo passo, vamos calcular a probabilidade de um jogador, que terá pela frente 4 partidas, vencer, 0, 1, 2, 3 ou 4 destas partidas.  Dado que a probabilidade de vencer é sempre 1/2. 

V = 0 →  {D, D, D, D}   → P(V=0) = 4!/4! x 1/16 = 1/16.  

V = 1 →  {V, D, D, D}   → P(V=1) = 4!/3! x 1/16 = 4/16. 

V = 2 →  {V, V, D, D}   → P(V=2) = 4!/2!2! x 1/16 = 6/16.  

V = 3 →  {V, V, V, D}   → P(V=3) = 4!/3! x 1/16 = 4/16.  

V = 4 →  {V, V, V, V}   → P(V=4) = 4!/3! x 1/16 = 4/16.  

Repare que usamos permutações com repetição, pois, por exemplo, quando o jogador vence 1 partida, ele pode vencer ou a primeira, ou a segunda, ou a terceira ou a quarta.  Para o cenário de 1 vitória,  VDDD, temos 4 dígitos e 3 repetições DDD, sendo assim, fica 4!/3!. 

Agora é só aplicar estes valores para os diferentes cenários descritos no passo anterior e somar todos eles.

>>1/16 x 1/16 = 1  [vamos somar apenas o numerador, pois todos os denominadores são 16.16, economizando assim essa digitação]

>>4/16 x 1/16 = 4
>>4/16 x 4/16  = 16  

>> 6/16 x 1/16  = 6
>>6/16 x 4/16  = 24
>>6/16 x 6/16  = 36

>>4/16 x 1/16 = 4
>>4/16 x 4/16 = 16
>>4/16 x 6/16 = 24
>>4/16 x 4/16 = 16

>>1/16 x 1/16  = 1
>>1/16 x 4/16  = 4
>>1/16 x 6/16  = 6
>>1/16 x 4/16  = 4
>>1/16 x 1/16  = 1

Finalmente, basta somar todas as probabilidades, a soma será feita apenas para o numerador, pois todos os denominadores valem 16.16.

P = [ 3 x (1) + 4 x (4) + 2 x (6) + 3 x (16) + 2 x (24) + 1 x (36) ] / 16.16
P = 163 / 256

De acordo com o enunciado, 163 e 256 devem ser primos entre si.  Dois números são primos entre si quando o MDC (Máximo Divisor Comum) entre eles é igual a 1.   Repare que 256 = 28. e o número 163 não é divisível por 2, logo o MDC entre 163 e 256 dá 1.  Portanto (p=163) e (q=256) são primos entre si.

Somando (p = 163) + (q=256) = 419. [ Alternativa correta é a letra D].

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de probabilidade resolvidas.

Um forte abraço e bons estudos.