(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Na recepção da passagem de comando da EAMSC os drinks foram servidos em taças cônicas de 320 ml.  Um dos convidados que estava com a taça completamente cheia, resolveu beber a quantidade do drink suficiente para que a bebida restante ficasse na metade da altura da taça, sem considerar sua base.  Com base nessas informações, assinale a opção que apresenta a quantidade de bebida que ele sorveu nesse gole. a) 280 ml. b) 200 ml. c) 160 ml. d) 80 ml. e) 40 ml. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Uma questão bem interessante de geometria espacial, para resolvê-la, vamos ilustrar o problema: Podemos perceber que o volume que ele sorveu é maior do que a metade do volume da taça, é possível notar isso observando que há mais volume na metade superior.  Ou seja, há mais volume no tronco de cone do que no cone menor na par...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Em um exercício da Marinha do Brasil, cinco navios estavam posicionados nos vértices de um pentágono regular imaginário.  Assinale a opção que indica a maior distância entre dois desses navios, sabendo que a menor distância entre dois navios mais próximos é 100 milhas marítimas. Dados: √2 = 1,41; √3 = 1,73; √5 = 2,24. a) 122 milhas marítimas. b) 132 milhas marítimas. c) 142 milhas marítimas. d) 152 milhas marítimas. e) 162 milhas marítimas. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. O enunciado nos informa que cinco navios estavam posicionados nos vértices de um pentágono regular imaginário e que a menor distância entre dois navios mais próximos é 100 milhas marítimas.  Isto quer dizer que o pentágono regular possui lado L de medida igual a 100 milhas. Se você ilustrar os navios num pentágono regular com vértices A, B, C, ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Um concurso para as Escolas de Aprendizes-Marinheiros ofereceu uma certa quantidade de vagas, das quais 1/5 foi destinado para a área de Eletroeletrônica.  O restante foi dividido igualmente entre as áreas de Profissional de Apoio e Mecânica.  As áreas de Mecânica e Eletroeletrônica contam com uma subespecialidade em comum, chamada Armamento de Aviação, que recebeu 30% das vagas de Mecânica e 50% das vagas de Eletroeletrônica.  Em relação ao concurso em questão, determine o percentual de vagas destinadas a Armamento de Aviação e assinale a opção correta. a) 22% b) 26% c) 30% d) 40% e) 80% Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. De acordo com as informações do enunciado: "Um concurso para as Escolas de Aprendizes-Marinheiros ofereceu uma certa quantidade de vagas, das quais 1/5 foi destinado para a área de Eletroele...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Considere as equações  x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0,  x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  e   x² - 4x - 4y + 8 = 0 ,  com (x,y) ∈ ℝ².  Analise e assinale a opção que apresenta, respectivamente, as representações geométricas das equações. a) Hipérbole, elipse, parábola. b) Hipérbole, circunferência, reta. c) Hipérbole, circunferência, parábola. d) Elipse, circunferência, parábola. e) Elipse, circunferência, reta. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Analisando cada equação, temos que: 1) x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0 De acordo com as alternativas de resposta, a primeira equação só pode ser hipérbole ou elipse.  Note que os sinais trocados dos coeficientes que multiplicam x² e y² nos indicam que não será elipse, então só pode ser hipérbole.  Vamos obter a equação dessa hipérbole para co...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  O polinômio P(x) = -x³ + 2x² + mx + n é divisível simultaneamente pelos polinômios Q(x) = x - 1 e R(x) = x - 2.  Determine o valor de m - n e assinale a opção correta. a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Se P(x) é divisível por x -1 , então  P( "raiz de x-1" ) = 0 Calculando a raiz de x - 1, temos que: x - 1 = 0 x = 1 Calculando P(1) = 0, temos que P(1) = - (1)³ + 2(1)² + m(1) + n = 0 P(1) = - 1 + 2 + m + n = 0 1 + m + n = 0   [Equação I] P(x) também é divisível por (x-2), então, aplicando o mesmo raciocínio anterior, vamos obter a raiz de x-2 x-2 = 0 x = 2 Calculando P(2) = 0 , temos que P(2) = -(2)³ + 2(2)² + m(2) + n = 0 -8 + 8 + 2m + n = 0 2m + n = 0 [Equação II] Chegamos num sistema de equações lineares, vamos resolvê-lo isolando n na segunda equação e aplicando na primeira....

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  A taxa de crescimento da população de uma colônia de bactérias é de 2% ao mês.  Assinale a opção que indica o intervalo de tempo em que o número de bactérias dessa colônia dobra.      Dados: log 0,2 = -0,70; log 2 = 0,30; log 1,2 = 0,08; e log 1,02 = 0,008. a) Durante o 35º mês após o início da observação. b) Durante o 36º mês após o início da observação. c) Durante o 37º mês após o início da observação. d) Durante o 38º mês após o início da observação. e) Durante o 39º mês após o início da observação. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Vamos utilizar a fórmula a seguir para calcular o crescimento exponencial dessa colônia de bactérias: VF = VI x ( 1 + i ) n   Sendo (VF, VI, i, n ) respectivamente (Valor Futuro, Valor Inicial, taxa de crescimento, tempo ou número de períodos). Considerando que o valo...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Ao se tentar abrir uma porta com um chaveiro que contém várias chaves parecidas, há quem afirme que a porta será aberta somente na última tentativa.  Pedro recebeu a tarefa de guardar equipamentos no paiol e, para tal, deram-lhe um chaveiro contendo oito chaves.  Assim, calcule a probabilidade de que ele acerte somente na última tentativa e assinale a opção correta. a) 12,5% b) 25,0% c) 50,0% d) 75,0% e) 87,5% Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Para calcular a probabilidade de que ele acerte somente na última tentativa, é necessário que ele: erre na primeira tentiva, e depois erre na segunda tentativa, e depois erre na terceira, (...) e continue errando até finalmente errar na sétima tentativa.  Finalmente, na oitava tentativa só restará a chave correta onde ele vai finalmente vai acertar. Precisamos calcular ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Miguelito e Ditão são dois integrantes de um seleto grupo de vinte tricolores.  Será formada uma comissão de cinco pessoas entre seus membros para organizar a festa de confraternização do grupo.  Com base nessas informações, assinale a opção que indica de quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada, de modo que apenas um deles esteja presente. a) 9.180 b) 6.120 c) 5.400 d) 4.590 e) 3.060 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Para resolvermos essa questão, precisamos realizar dois cálculos que retornam o mesmo valor: (I) Número de comissões formadas por Miguelito e mais 4 tricolores e também sem a presença de Ditão. (II)Número de comissões formadas por Ditão e mais 4 tricolores e também sem a presença de Miguelito. Ambas terão o mesmo resultado, sendo assim, vamos calcular (I) e simplesmente multip...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  O chão da Sala de Estado da EAMCE é retangular e suas dimensões são 3,52 m e 4,16 m.  Esse chão será revestido com pisos quadrados, de dimensões iguais, inteiros, de forma que não fiquem espaços vazios entre pisos vizinhos.  Os pisos serão escolhidos de modo que tenham a maior dimensão possível.  Com base nessa situação, assinale a opção que apresenta o intervalo que contém a medida do lado do piso ideal. a) Menos de 15 cm. b) Mais de 15 cm e menos de 20 cm. c) Mais de 20 cm e menos de 25 cm. d) Mais de 25 cm e menos de 30 cm. e) Mais de 30 cm. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Essa é uma questão onde precisamos calcular o máximo divisor comum (MDC) entre 3,52 m e 4,16 m.  Convertendo-os para cm, temos as medidas 352 cm e 416 cm.  Para calcular o MDC, caso seja necessário, faça uma revisão no a...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) As arestas laterais de uma pirâmide medem 52 cm e sua base é um triângulo isósceles cujos lados medem 24 cm, 12√10 cm e 12√10 cm.  Sabendo que a projeção do vértice da pirâmide na base triangular é o centro de sua circunferência circunscrita, determine a altura dessa pirâmide e assinale a opção correta. a) 12 cm b) 16 cm c) 30 cm d) 36 cm e) 48 cm. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão bem interessante envolvendo vários conceitos da geometria plana e geometria espacial.  Para resolvê-la, primeiramente vamos ilustrar a pirâmide com sua base triangular inscrita em uma circunferência de raio R. Podemos notar que a altura H pode ser encontrada por meio da relação: H² + R² = (aresta lateral)² H² + R² = 52² H² = 2704 - R² (Equação I) Precisamos agora da medida do raio R da circunferência que circunscreve o t...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Encontre os valores dos arcos x e y indicados na figura abaixo e assinale a opção correta. a) x = 30° e y = 90° b) x = 45° e y = 90° c) x = 45° e y = 75° d) x = 60° e y = 75° e) x = 90° e y = 60° Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Para resolvermos essa questão, vamos utilizar o conceito de ângulo inscrito na circunferência . Note que os ângulos ilustrados em vermelho são iguais à metade do ângulo y.  Já os ângulos ilustrados em azul valem a metade do ângulo x.  Vamos completar a figura com a identificação de novos ângulos. Sabemos que a soma dos 4 ângulos internos de um quadrilátero vale 360°, deste modo, podemos obter o valor de x no quadrilátero destacado em vermelho. 75° + 15° + 180° -x/2 + 180° - x/2 = 360° 90° + 360° - x = 360° x = 90° Já poderíamos marcar a letra (e), pois é a única que tem o valor de (x=...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Sabendo que a reta r é determinada pelos pontos de interseção da função f(x) = x² - x com a sua inversa f -1 (x), como representado na figura abaixo, e seja o menor segmento de reta PP' que une o ponto P(10,0) a esta reta, com P' ∈ r.  Considere o triângulo retângulo OP'P sendo O a origem do eixo cartesiano e reto em P'.  Desse modo, encontre o tamanho do segmento PP' e assinale a opção correta. a) √2 b) √3 c) 2√3 d) 5√2 e) 5√3 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Podemos notar que o objetivo da questão é encontrar a distância do ponto P (10,0) até a reta r que é formada pelos pontos de encontro de f(x) com sua inversa.  Sabemos que os pontos de encontro de uma função f(x) qualquer com sua respectiva inversa sempre estarão sobre a reta y = x.   **  Um detalhe relevante neste e...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Considere a elipse E com centro na origem, um dos focos em F1(0, √(2/3)) e que passa pelo ponto P (1/2, 1/2), como mostrado na figura abaixo.  Assinale a opção correta que apresenta a excentricidade de E . a) 1/6 b) 1/2 c) √(2/3) d) 1 e) √(3/2) Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. A equação reduzida desta elipse, com foco sobre o eixo y, é dada por: (x²/b²) + (y²/a²) = 1 Sabemos que P (1/2, 1/2) é um ponto da elipse, sendo assim, vamos aplicá-lo na equação. ((1/2)²/b²) + ((1/2)²/a²) = 1 ((1/4)/b²) + ((1/4)/a²) = 1 (1/4b²) + (1/4a²) = 1 (a²+b²) / (4b²a²) = 1 a² + b² = 4b²a² (Equação I) Também sabemos que c² = a² - b²  e que o valor de c nesta elipse é igual a √(2/3) c² = a² - b² [√(2/3)]² = a² - b² 2/3 = a² - b² b² = a² - 2/3 (Equação II) Agora, aplicamos II em I. a² + (a² - 2/3) = 4(a² - 2/3)a² 2a² - 2...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada, como mostra a figura abaixo, e assinale a opção correta. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão muito interessante de geometria analítica envolvendo duas cônicas: hipérbole e a elipse. Primeiramente, vamos trabalhar na hipérbole, podemos notar que o eixo real está em y, logo temos a seguinte estrutura. O enunciado nos forneceu a equação da hipérbole como sendo x² - y² = -1 , vamos multiplicar os dois lados da equação por -1. Fazendo isso, chegaremos à seguinte equação reduzida da hipérbole. y² - x² = 1 Como a equação reduzida da hipérbole tem a forma:   (y²/a²) - (x²/b²) = 1 então a² =1 e b² = 1  e com eles podemos enc...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Considere duas fontes de luz, A e B , situadas no eixo das abscissas, com A na origem.  A fonte B é 4 vezes mais brilhante do que a fonte A e distam 15 m entre si.  Suponha que um objeto C é posto no eixo das abscissas entre A e B .  Sabendo que a luminosidade em C é diretamente proporcional à intensidade da fonte e inversamente proporcional ao quadrado da distância desse ponto à mesma fonte.  A que distância de A deve estar C para que seja iluminado igualmente por ambas as fontes? a) 1 m b) 3 m c) 5 m d) 6m e) 7m Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Para resolvermos essa questão, inicialmente vamos ilustrar as fontes A e B e o objeto C no eixo das abscissas.  Vamos posicionar A na origem (0,0) e B no ponto (+15,0).  Deste modo, C ficará em um ponto (x,0) sendo x um valor positivo. Per...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022)  Uma esfera com centro em O possui volume igual a 1372π/3 cm³.  Se tomarmos um plano e o fizermos interceptar essa esfera a uma distância d do seu centro, a seção plana circular resultante, de centro O', terá área igual a 24π cm² (figura abaixo).  Assim, de acordo com os dados, calcule o valor de d , ou seja, OO', e assinale a opção correta. a) 1 cm b) 3 cm c) 5 cm d) 7 cm e) 10 cm Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão bem interessante de geometria espacial envolvendo também a geometria plana.  Sejam R e r os raios da esfera e da seção plana circular, respectivamente, então podemos notar que R , r e d formam um triângulo retângulo. Podemos encontrar R por meio da fórmula do volume da esfera (Ve). Ve = (4/3)πR³ (4/3)πR³ = 1372π/3 cm³ 4R³ = 1372 cm³ R³ = 1372/4 cm³ R³ = 343 c...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Uma das sensações nos jogos online é o Call of Duty - WARZONE, pois, em um dos modos de jogo a equipe vencedora é a última que sobrevive.  Considere um jogador do WARZONE chamado NEGUEBA.  Supondo que em uma partida online no WARZONE existam sempre 4 caminhos para tentar derrubar um oponente, sendo que em apenas um deles é possível derrubar.  Assim, para cada caminho, NEGUEBA tem probabilidade de 1/4 de escolher o que vai derrubar um oponente se ele está adivinhando e 1 se ele sabe esse caminho.  NEGUEBA sabe 10% dos caminhos para derrubar um oponente.  Se ele derrubou um dos oponentes, qual é a probabilidade dele ter adivinhado o caminho? a) 9/13 b) 4/5 c) 8/13 d) 7/16 e) 3/7 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Podemos estruturar a resolução desta questão usando um diagrama de árvore (também conh...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Observe a figura abaixo: Se ABCD é um quadrado e ABP um triângulo equilátero, determine o ângulo x e assinale a opção correta. a) 135° b) 105° c) 100° d) 97° e) 95° Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão de geometria plana muito interessante sobre ângulos, vamos ilustrar a figura com algumas informações importantes. Perceba que a aresta AB é comum ao quadrado e ao triângulo equilátero, isto quer dizer que as duas figuras geométricas têm lados com medidas iguais, vamos atribuir um valor L qualquer.  Agora, vamos nos concentrar no triângulo DAP, note que ele é isósceles, sendo assim, os ângulos em D e em P são iguais a um valor qualquer, vamos atribuir o valor de θ.  Além disso, o ângulo em A vale 150°, devido a soma de dois ângulos, são eles:  90° (um dos ângulos internos do quadrado) e 60° (um dos ...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Calcule a área S e o perímetro P do triângulo ABA' abaixo e assinale a opção correta. a) S = √2 e P = 1 + √3 b) S = √3 e P = 5 + √2 c) S = 5√2 e P = √3 d) S = 8√3 e P = 4(3 + √3) e) S = 10√3 e P = 2(2 + √3) Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Para resolvermos essa questão de geometria plana, vamos ilustrar a figura com alguns valores importantes e com isto aplicar as relações métricas no triângulo retângulo . Em primeiro lugar, vamos encontrar m por meio da relação c² = a . m 8² = (12+m) . m 64 = 12m + m² m² + 12m - 64 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara chegaremos até as raízes 4 e -16.  Como m não pode ser negativo, então m = 4 . Agora, vamos encontrar h por meio da relação h² = m . n h² = 4 . 12 h² = 48 h = 4√3 A área (S) de ABA' é igual a S = (b...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Sabe-se que (1-cos²(x))(cotg²(x)+1) = A para x diferente de kπ, com k ∈ Z, e que  sec²(x) - 1 = B, quando sen(x) =  √2    tg² (x) +1                                                  2 Assim, assinale a opção que apresenta o valor de B A . a) 0 b) 1/2 c) 1 d) 3/2 e) 2 Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Para resolvermos essa questão, utilizaremos algumas das  identidades trignométricas . Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1 sen²(x) = 1 - cos²(x) cotg(x) = 1/tg(x) = 1 / (sen(x)/cos(x)) = cos(x)/sen(x) Se dividirmos a expressão (sen²(x) + cos²(x) = 1) por sen²(x) teremos o seguinte resultado: sen²(x)/sen²(x) + cos²(x)/sen²(x) = 1/sen²(x) 1 + cotg²(x) = 1/sen²(x) Agora, vamos ...