(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada, como mostra a figura abaixo, e assinale a opção correta.

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada, como mostra a figura abaixo, e assinale a opção correta.

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Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.

Uma questão muito interessante de geometria analítica envolvendo duas cônicas: hipérbole e a elipse. Primeiramente, vamos trabalhar na hipérbole, podemos notar que o eixo real está em y, logo temos a seguinte estrutura.

O enunciado nos forneceu a equação da hipérbole como sendo x² - y² = -1 , vamos multiplicar os dois lados da equação por -1. Fazendo isso, chegaremos à seguinte equação reduzida da hipérbole.

y² - x² = 1

Como a equação reduzida da hipérbole tem a forma:   (y²/a²) - (x²/b²) = 1

então a² =1 e b² = 1  e com eles podemos encontrar c.

c² = a² + b²

c² = 1 + 1 

c² = 2

c = √2

A excentricidade e da hipérbole é igual a 

e = c/a

e = (√2)/1

e = √2

Vamos atualizar a figura da hipérbole com os valores de a, b e c.

Na segunda e última parte da resolução, vamos trabalhar na elipse (a partir de agora, vamos nos referir a a,b e c como elementos da elipse).  Recapitulando o enunciado:

Determine a equação reduzida da elipse cujo

 

>>>  eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 , ou seja, eixo menor (b) vale √2

>>> cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole, ou seja, 

e_elipse = 1 / e_hipérbole

e_elipse = 1 /  √2

Também sabemos que e_elipse = c/a  , deste modo

1/√2 = c/a

c = a/√2

Na elipse, temos que c² = a² - b²

(a/√2)² = a² - (√2)²

a²/2 = a² - 2

a² = 2a² - 4

a² = 4

Sabemos que a equação reduzida da elipse com eixo maior em x e o eixo menor em y, será dada por:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1  

(x²/4) + (y²/2) = 1

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade: confira a seguir uma ilustração das duas figuras juntas com alguns pontos importantes.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros. 

Um forte abraço e bons estudos.