(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada, como mostra a figura abaixo, e assinale a opção correta.
(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada, como mostra a figura abaixo, e assinale a opção correta.
Solução: questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022, prova aplicada no dia 05/06/2022.
Uma questão muito interessante de geometria analítica envolvendo duas cônicas: hipérbole e a elipse. Primeiramente, vamos trabalhar na hipérbole, podemos notar que o eixo real está em y, logo temos a seguinte estrutura.
O enunciado nos forneceu a equação da hipérbole como sendo x² - y² = -1 , vamos multiplicar os dois lados da equação por -1. Fazendo isso, chegaremos à seguinte equação reduzida da hipérbole.
y² - x² = 1
Como a equação reduzida da hipérbole tem a forma: (y²/a²) - (x²/b²) = 1
então a² =1 e b² = 1 e com eles podemos encontrar c.
c² = a² + b²
c² = 1 + 1
c² = 2
c = √2
A excentricidade e da hipérbole é igual a
e = c/a
e = (√2)/1
e = √2
Vamos atualizar a figura da hipérbole com os valores de a, b e c.
Na segunda e última parte da resolução, vamos trabalhar na elipse (a partir de agora, vamos nos referir a a,b e c como elementos da elipse). Recapitulando o enunciado:
Determine a equação reduzida da elipse cujo
>>> eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 , ou seja, eixo menor (b) vale √2
>>> cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole, ou seja,
eelipse = 1 / ehipérbole
eelipse = 1 / √2
Também sabemos que eelipse = c/a , deste modo
1/√2 = c/a
c = a/√2
Na elipse, temos que c² = a² - b²
(a/√2)² = a² - (√2)²
a²/2 = a² - 2
a² = 2a² - 4
a² = 4
Sabemos que a equação reduzida da elipse com eixo maior em x e o eixo menor em y, será dada por:
(x²/a²) + (y²/b²) = 1
(x²/4) + (y²/2) = 1
Alternativa correta é a letra a).
Curiosidade: confira a seguir uma ilustração das duas figuras juntas com alguns pontos importantes.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do concurso de admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros.
Um forte abraço e bons estudos.