(ESA 2025)  A figura abaixo ilustra a propriedade refletora da hipérbole. Se um raio partir de um ponto 𝐴 e seguir em direção a 𝐹2, então ele é refletido pela hipérbole, no ponto 𝑃, e segue em direção a 𝐹1.      Considere a hipérbole 4𝑥² − 5𝑦² = 20 de focos 𝐹1 e 𝐹2, com 𝐹1 à esquerda de 𝐹2. Qual das retas abaixo dá a direção do raio que deve partir do ponto 𝐴(1,3) para ser refletido no ramo da direita da hipérbole e caminhar em direção a 𝐹1?  Ⓐ 3𝑥 + 2𝑦 − 9 = 0  Ⓑ 2𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 Ⓒ 𝑥 + 2𝑦 − 8 = 0  Ⓓ 2𝑥 − 𝑦 + 7 = 0  Ⓔ 𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0  Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024. Essa questão de geometria analítica tem, em seu enunciado, uma contextualização interessante.  Nosso objetivo é descobrir a equação da re...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Considere as equações  x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0,  x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  e   x² - 4x - 4y + 8 = 0 ,  com (x,y) ∈ ℝ².  Analise e assinale a opção que apresenta, respectivamente, as representações geométricas das equações. a) Hipérbole, elipse, parábola. b) Hipérbole, circunferência, reta. c) Hipérbole, circunferência, parábola. d) Elipse, circunferência, parábola. e) Elipse, circunferência, reta. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Analisando cada equação, temos que: 1) x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0 De acordo com as alternativas de resposta, a primeira equação só pode ser hipérbole ou elipse.  Note que os sinais trocados dos coeficientes que multiplicam x² e y² nos indicam que não será elipse, então só pode ser hipérbole.  Vamos obter a equação dessa hipérbole para co...

( EsPCEx 2022 )  Utilize os dados da figura abaixo para responder às questões 3 e 4. Dados: BL é um segmento horizontal e A é o seu ponto médio. O campo tem comprimento BL= 118m e largura MN. Os segmentos RS e MN são, respectivamente, os eixos real e imaginário da hipérbole h, dada pela equação:      x²     -     y²    =  1 1600      900 O ponto I, usado para o pênalti, é um dos focos dessa hipérbole. R e S são vértices (extremidades do eixo real) da hipérbole h. 3)  A largura MN e a medida IL (distância do pênalti ao gol) são, respectivamente, iguais a [A] 60m e 9m. [B] 60m e 10m. [C] 80m e 9m. [D] 80m e 10m. [E] 80m e 19m. 4) O ponto A, centro da hipérbole h, é também centro da circunferência j, dada pela equação: x² + y² = 144 Com isso, é correto afirmar que a distância da circunferência j ao ponto S é igual a [A] 18m. [B] 27m. [C] 28m. [D] 38m. [E] 47m. Solução: duas questões de geome...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2022) Determine a equação reduzida da elipse cujo eixo menor tem por extremos os focos da hipérbole x² - y² = -1 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da hipérbole dada, como mostra a figura abaixo, e assinale a opção correta. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2022,  prova aplicada no dia 05/06/2022. Uma questão muito interessante de geometria analítica envolvendo duas cônicas: hipérbole e a elipse. Primeiramente, vamos trabalhar na hipérbole, podemos notar que o eixo real está em y, logo temos a seguinte estrutura. O enunciado nos forneceu a equação da hipérbole como sendo x² - y² = -1 , vamos multiplicar os dois lados da equação por -1. Fazendo isso, chegaremos à seguinte equação reduzida da hipérbole. y² - x² = 1 Como a equação reduzida da hipérbole tem a forma:   (y²/a²) - (x²/b²) = 1 então a² =1 e b² = 1  e com eles podemos enc...

(EsPCEx - 2018) Uma hipérbole tem focos F1 (-5,0) e F2 (5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0.  O triângulo com vértices em F1, P e Q tem área igual a Solução:  questão interessante da Escola Preparatória de Cadetes do Exército sobre Cônicas.  Usaremos as seguintes fórmulas da Hipérbole. Equação Reduzida da Hipérbole        x² / a²  -  y² / b²  = 1   E a distância focal (c)                         c² = a² + b² Imagem de Toppr.com no artigo Equation of Hyperbola Do enunciado temos que c = 5, logo  25 = a² + b² Sabemos que o ponto P(3,0) está contido na hipérbole, logo, podemos inseri-lo na equação reduzida. 3² / a²  -  0² / b²  = 1 9/a² = 1 a² = 9 Finalmente acharemos b² por meio da relação 25 = a² + b² 25 = 9 + b² b² = 16 Então a equação da hipérbole é  x² / 9  -...