Questão de Geometria Analítica com Equação de Reta e Ângulos em um Triângulo Retângulo. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UNICAMP .

Questão de geometria que envolve o cálculo da área de um triângulo. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UNICAMP .

Problema de matemática em um jogo de videogame sobre guerra onde cada jogador deve montar sua tropa escolhendo 100 combatentes. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UNICAMP .

Pratique com questões resolvidas de Matemática do Vestibular UNICAMP Nesta página, você encontra um guia completo para acessar questões de matemática do Vestibular UNICAMP.   Todos os problemas estão resolvidos e organizados por tema. Se você está estudando a disciplina Matemática , então este artigo vai te ajudar a descobrir diferentes formas de encontrar as questões: use o buscador para encontrar problemas específicos ou acesse questões organizadas por disciplina com resoluções detalhadas. Se você busca praticar matemática para UNICAMP  resolvendo questões de provas anteriores, esta página reúne os caminhos para chegar rapidamente às questões disponíveis aqui no Exercícios Resolvidos . Confira as opções a seguir:

(UNICAMP 2025)  A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela. Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo t , denotada por Q(t) , é dada por Q ( t ) = 20 + 2 sen( t ) – 4 cos( t ), em que t representa o tempo medido em anos e Q( t ) é medido em quilos. O gráfico que melhor representa a função Q ( t ), ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo t é: Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Para resolver essa qu...

(UNICAMP 2025)  A figura a seguir mostra um triângulo ABC que contém dois quadrados em seu interior. O segmento GH é lado de um dos quadrados e está contido no segmento AB. O segmento EF, contido no segmento AC, é lado do outro quadrado. Sabendo que AG mede 4 cm e que o lado GH do quadrado menor mede 3 cm, o comprimento do segmento EF é:  a) 121/20. b) 111/20. c) 102/15. d) 98/15. Solução:  questão de matemática (geometria) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Em primeiro lugar, vamos ilustrar a figura com os valores do enunciado e acrescentar dois ângulos complementares α e β, ou seja, α + β = 90°.  Fazendo isso, vamos perceber que existem triângulos semelhantes nessa figura. No triângulo retângulo ADG, os catetos medem 3 e 4, logo, pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa AD = 5 cm.  Nosso objetivo é encontrar EF, que é igual a EJ.  Vamos encontr...

(UNICAMP 2025)  Sejam ƒ(x) = x – 2 e g (x) = x² – 4x funções reais. A quantidade de números x ∈  ℤ   que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é: a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Em primeiro lugar, vamos encontrar  g(ƒ(x)).   g (x) = x² – 4x g (x) = x( x  – 4) g( ƒ(x) ) =  ( x – 2 )( x – 2  – 4) g ( ƒ(x) ) = ( x – 2 )( x  – 6) Podemos notar que a  g ( ƒ(x) ) é uma função do segundo grau (ou função quadrática) e está na sua forma fatorada. Relembrando a forma fatorada da função do segundo grau. y = a(x - x 1 )(x - x 2 ) Sendo x 1  e x 2  as raízes da função. Na  g (ƒ(x)), temos que a = 1 e suas raízes são 2 e 6.  O coeficiente a é positivo, portanto, o gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima, formato de U.  Vamos esboçar o gráfico da parábola para visualizarmos o intervalo onde...

(UNICAMP 2025)  Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais x , y e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades | x – 2 | ≤ 2 e | y – 3 | ≤ 1 . O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números? a) x² + y² ≤ 1. b) x + y ≥ 10. c) x + y ≤ 8. d) x² + y² ≥ 36 Solução: uma questão muito interessante de matemática (equação modular e raciocínio lógico) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Em primeiro lugar, precisamos  resolver as inequações modulares . |  x  – 2 | ≤ 2 -2 ≤  x  – 2 ≤ 2 x  – 2 ≥ -2  e   x  – 2 ≤ 2 Essas duas equacões têm que ser satisfeitas ao mesmo tempo. x  ≥ -2 + 2  e   x  ≤ 2 + 2 x  ≥ 0  e   x  ≤ 4 Assim, temos que 0  ≤  x   ≤ 4 Resolvendo essa mesma inequação de uma forma mais direta. -2 ≤  x  – 2 ≤ 2 -2 +...

(UNICAMP 2025)  O gráfico de uma parábola de equação y = ax² + bx + c passa pelos pontos P = (0,–4), Q = (2,–1) e M = (–2,5).  O valor do produto a ⋅ b ⋅ c é:  a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Inicialmente, o ponto  P = (0,–4) nos indica que o coeficiente c = –4.  Neste ponto, a parábola intercepta o eixo y. y = a·0² + b·0 + c = -4 c = –4 Vamos reescrever a equação dada no enunciado, trocando c por –4. y = ax² + bx – 4 Ponto Q = (2,–1)  –1 = a(2)² + b(2) – 4 4a + 2b = -1 + 4 4a + 2b = 3    "Equação I" Ponto M = (–2,5) 5 = a(–2)² + b(–2) – 4 4a – 2b = 5 + 4 4a  –  2b = 9    "Equação II" A partir de agora, precisamos resolver um sistema de equações lineares.  Vamos somar as duas equações, assim encontraremos o valor de a. 4a + 2b +   4a – 2b  = 3 ...

(UNICAMP 2025)  As funções trigonométricas cos( x ) e sen( x ) são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo π/3, π/4 e π/6 – os valores dessas funções. É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas. Considerando a relação cos(x/2) = √ (1 + cos(x))/2 e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de sen(π/12) é a) √ 2 − √3   .               2       b) √ 2 + √3   .               2       c) √ 3 − √3   .               2       d) √ 3 + √3   .         ...

(UNICAMP 2025)  Seja ( a n ) n ∈ℕ = ( a 1 , a 2 , a 3 ,…) uma progressão aritmética de razão r e seja ( s 1 , s 2 , s 3 ,…) a sequência definida por s n = a 1 + ⋅⋅⋅ + a n , isto é, o seu n -ésimo termo é a soma dos n primeiros termos da sequência ( a n ) n ∈ℕ . Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência ( s n ) n ∈ℕ  , a razão da progressão aritmética ( a n ) n ∈ℕ  é: a) 5. b) 7. c) 9. d) 11. Solução:  uma questão interessante de matemática (progressões aritméticas) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Nesta resolução, para simplificar os comentários, vamos fazer referência à progressão aritmética  ( a n ) n ∈ℕ    simplesmente por PA . E também, referenciar a   sequência ( s n ) n ∈ℕ   simplesmente por S . Vamos explorá-las um pouco mais usando alguns exemplos.  Por meio dos termos a1, a2, a3 e a4 da PA, vamos calcular os termos de S correspondentes. s1 = a1 ...

(UNICAMP 2025)  Uma lanchonete recebeu uma encomenda de 65 copos de sucos de frutas. Até 3 sabores podem ser misturados dentro do copo, sendo eles: abacaxi, laranja e morango. O diagrama a seguir representa algumas quantidades produzidas de cada tipo de suco. Por exemplo, foram pedidos 10 sucos exclusivamente de abacaxi e 6 sucos usando somente laranja e morango. Os sucos foram colocados em copos não rotulados. Se uma pessoa escolher um copo ao acaso, qual a probabilidade de que ela tome um suco que tenha exatamente dois sabores?  a) 5/13. b) 1/10. c) 7/22. d) 2/7. Solução:  questão de matemática (teoria dos conjuntos e probabilidade) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Neste problema, vamos calcular a probabilidade P utilizando a fórmula a seguir: P = (número de casos favoráveis) / (número total de casos possíveis) O  número total de casos possíveis  é igual a 65, ele foi dado logo no início do ...

(UNICAMP 2025)  Um telefone celular custava R$ 2.000,00 em janeiro. Em abril, seu preço foi reajustado em 10%. Em junho, o preço foi novamente reajustado em 10%. Numa promoção, em novembro, Rogério finalmente comprou, com um desconto de 20%, o celular. Quanto ele pagou pelo aparelho?  a) R$ 1.896,00. b) R$ 1.936,00.  c) R$ 2.000,00. d) R$ 2.052,00. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Vamos resolver essa questão de porcentagem passo a passo, veremos que podemos realizar essas contas de cabeça.   Do enunciado: um telefone celular custava R$ 2.000,00 em janeiro. Em abril, seu preço foi reajustado em 10%. 10% de 2000 é igual a 200.  Basta andar com a vírgula uma casa para a esquerda.  A seguir, confira os cálculos passo a passo. (10/100) × 2000 = (1/10) × 2000 = 2000/10 = 200 Assim, o celular passou a custar  R$ 2.000,00 + R$ 200,00 =  R$ 2.200,00 Do enunciado:...

( UNICAMP 2024 )  Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos a,b,c, com a ≤ b ≤ c. Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível . Sabendo que o graveto tinha 50 cm de comprimento e que b = a + 2, qual é o maior valor possível de a?  a) 9,5 cm. b) 10,5 cm. c) 11,5 cm. d) 12,5 cm. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Podemos resolver essa questão analisando visualmente as alternativas de resposta, seria possível aproveitar o espaço nas alternativas, elas indicam valores para a, e ao lado, bastaria preencher os valores de b e c respectivos. a b c a) 9,5 11,5 29 b) 10,5 12,5 27 c) 11,5 13,5 25 ...

( UNICAMP 2024 )  Na figura a seguir, ABCD é um trapézio com AB=1 e CD=5. Os pontos M e N são pontos médios de AB e BC, respectivamente. Sabendo que a área de MBN é 1, a área do trapézio é:  a) 18. b) 20. c) 22. d) 24. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Para resolver essa questão de geometria plana, vamos ilustrar o ponto K, que é o ponto médio do lado AD e traçar a partir dele um segmento até o ponto N, que é o ponto médio do lado BC.  Com isso, teremos o segmento KN que é a base média do trapézio, sabemos que ela é paralela às bases do trapézio e mede (5+1)/2 = 3 unidades. Podemos obter a altura h, ilustrada acima, por meio da área do triângulo MBN que vale 1 conforme estabelecido no enunciado. Área = (base x altura)/2 Área = (0,5 x h)/2 1 = 0,5h/2 0,5h = 2 h = 2/0,5 h = 4 Com esta medida, podemos obter a altura do trapézio ABCD.  Vamos adicionar novos elementos a essa ilustração e criar dois triân...

( UNICAMP 2024 )  Considere os conjuntos  A = {x ∈ ℝ | x² – 2x – 24 < 0} e  B = {x ∈ ℝ | 2x – 7 ≤ 0}.  Quantos números inteiros pertencem à interseção A ∩ B?  a) 3. b) 5. c) 7. d) 9. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. A = {x ∈ ℝ | x² – 2x – 24 < 0} Para encontrarmos o intervalo do conjunto A, vamos fazer um esboço do gráfico de f(x) = x² – 2x – 24 O gráfico de f(x) representa uma parábola com concavidade voltada para cima (formato de U), isto porque seu coeficiente a = 1 é positivo.  Vamos obter as raízes de f(x). x² - 2x - 24 = 0 x² - 2x  = 24 x² - 2x + 1 = 24 + 1 (x - 1)² = 25 x - 1 = ± √25 x = 1 ± 5 x = 1 - 5 ou x = 1 + 5 x = -4   ou x = 6 Com as raízes encontradas, vamos esboçar o gráfico dessa parábola, destacando o intervalo em que ela assume valores negativos. Esse esboço nos permite visualizar que x² – 2x – 24 é menor do que 0, no intervalo -4 < x...

( UNICAMP 2024 )  No losango abaixo, qual é a medida do comprimento do segmento BE? a) √26. b) √27. c) √28. d) √29. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Mais uma questão bem interessante de geometria plana da UNICAMP.  Sabemos que o losango possui os 4 lados iguais e além disso os ângulos internos opostos são iguais.  Deste modo, vamos considerar que o lado do losango vale x e vamos também ilustrar o ângulo interno  no vértice C que deve ser igual ao ângulo interno no vértice A que mede 60°. Podemos perceber que o triângulo retângulo BFC possui um ângulo interno de 30° no vértice B, isto porque a soma dos 3 ângulos internos do triângulo vale 180°.  Podemos utilizar o seno desse ângulo para descobrir o valor de x utilizando as relações trigonométricas no triângulo retângulo. seno de 30° = cateto oposto / hipotenusa 1/2 = CF / CB 1/2 = (x-3) / x x = 2x - 6 x = 6 Com esta medida, vamos atualizar...

( UNICAMP 2024 )  Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão, conforme figura a seguir. Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna? a) 11/8. b) 13/8. c) 15/8. d) 17/8. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Uma questão muito interessante com uma aplicação prática de funções do segundo grau.  Para resolver essa questão, vamos ilustrar a parábola no plano cartesiano, conforme o modelo a seguir: Da forma como a parábola foi posicionada no plano cartesiano, a altura da caixa ilustrada com valor h é igual a f(1/2).  Ou seja, se encontrarmos a f(x), basta aplicar f(1/2) que encontraremos h.  No...

( UNICAMP 2024 )  Considere as funções 𝑓(x) = 2x + c e g(x) = 5 – 6x, com c > 0. Sejam P e Q os pontos de interseção, com o eixo y, dos gráficos de y = 𝑓(g(x)) e y = g(𝑓(x)), respectivamente.  Para que a origem seja o ponto médio do segmento PQ, qual deverá ser o valor de c?  a) 1. b) 2. c) 3. d) 4 Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Em primeiro lugar, vamos obter as funções compostas e seus pontos de interseção com o eixo y. 𝑓(g(x)) = 2 g(x) + c 𝑓(g(x)) = 2 (5 – 6x) + c 𝑓(g(x)) = 10 - 12x + c 𝑓(g(x)) = - 12x + 10 + c Aplicando x = 0, vamos encontrar y = 10 + c, de modo que o ponto P (0, 10+c) é o ponto de interseção da 𝑓(g(x)) com o eixo y. g(𝑓(x)) = 5 - 6 f(x) g(𝑓(x)) = 5 - 6 (2x + c) g(𝑓(x)) = 5 - 12x - 6c g(𝑓(x)) = -12x + 5 - 6c Aplicando x = 0, vamos encontrar y = 5 - 6c, de modo que o ponto Q (0, 5-6c) é o ponto de interseção da g(𝑓(x)) com o eixo y....

( UNICAMP 2024 )  Seja p(x) = x + 2024 .  A equação     p(x) + p(2x) + p(3x) + ... + p(2023x) + p(2024x) = 0 tem uma solução x que satisfaz: a) x < -2. b) -2 < x < 0. c) 0 < x < 2. d) x > 2. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Na equação  p(x) + p(2x) + p(3x) + ... + p(2023x) + p(2024x) = 0  , inicialmente, vamos trabalhar no primeiro membro, de modo a simplificá-lo.  Podemos notar o seguinte em p(x). p(x) = x + 2024 p(2x) = 2x + 2024 p(3x) = 3x + 2024 ......... p(2023x) = 2023x + 2024 p(2024x) = 2024x + 2024 Se somarmos todos eles, vamos obter: x + 2024 + 2x + 2024 + 3x + 2024 + .... + 2023x + 2024 + 2024x + 2024 Isto equivale a  2024 . 2024 + (x + 2x + 3x + .... + 2023x + 2024x) Colocando o x em evidência, temos 2024 . 2024 + x ( 1 + 2 + 3 + .... + 2023 + 2024 ) Podemos notar que 1, 2, 3, ...., 2023, 2024 é uma progressão aritmética (PA).  O que vamos faz...