(UNICAMP 2025) As funções trigonométricas cos(x) e sen(x) são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo π/3, π/4 e π/6 – os valores dessas funções.

(UNICAMP 2025) As funções trigonométricas cos(x) e sen(x) são muito estudadas no Ensino Médio. A exposição deste importante conteúdo costuma contar, nas aulas, com a apresentação de gráficos e tabelas que expõem em arcos – chamados “arcos notáveis”, como por exemplo π/3, π/4 e π/6 – os valores dessas funções.

É possível, no entanto, calcular, em outros arcos, os valores destas funções, utilizando algumas identidades trigonométricas. Considerando a relação cos(x/2) = √(1 + cos(x))/2 e a identidade fundamental da trigonometria, é possível afirmar que o valor de sen(π/12) é

a) √2 − √3  .
             2      

b) √2 + √3  .
             2      

c) √3 − √3  .
             2      

d) √3 + √3  .
             2      

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Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024.

O objetivo da questão é encontrar o valor de sen(π/12).  Em graus: π/12 = 180°/12 = 15°.  Assim, nosso objetivo é descobrir

quanto vale o seno de 15°

.

Sabemos que 15° e 30° são arcos do primeiro quadrante, onde seno e cosseno são positivos.

Sabemos também que sen (30°) = 1/2 e cos(30°) = (√3)/2.

Vamos usar a relação fornecida no enunciado da questão.

cos(x/2) = √(1 + cos(x))/2 

No lugar de x/2, vamos usar 15° e no lugar de x, vamos usar 30°.

cos(15°) = √(1 + cos(30°))/2

Obter o cos²(15°)

cos²(15°) = (1+cos(30°))/2

Substituir cos(30°) por (√3)/2

cos²(15°) = [1+ (√3)/2]/2

cos²(15°) = [(2 + (√3))/2]/2

cos²(15°) = (2 + √3)/4

Agora, vamos usar a identidade fundamental da trigonometria, também conhecida como identidade trigonométrica fundamental.

sen²(θ)+cos²(θ) = 1

Vamos substituir θ por 15° e isolar o seno.

sen²(15°)+cos²(15°) = 1

sen²(15°) = 1 - cos²(15°)

sen²(15°) = 1 - (2 + √3)/4

sen²(15°) = (4/4) - (2 + √3)/4

sen²(15°) = (4 - 2 - √3)/4

sen²(15°) = (2 - √3)/4

Sabemos que sen 15° é um valor positivo, isto porque 15° é um arco do primeiro quadrante.

sen (15°) =  (√2 - √3 )/2

Alternativa correta é a letra a).

Uma outra possibilidade de resolução usando a fórmula do seno do arco metade.

sen (x/2) = ± √(1 - cos(x))/2 

x/2 = 15°, logo o seno é positivo.

sen (15°) = √(1 - cos(30°))/2

• cos(30°) = (√3)/2

sen (15°) = √(1 - (√3)/2)/2

sen (15°) = √((2 - √3)/2)/2

sen (15°) = √(2 - √3)/4

sen (15°) = (√2 - √3 )/2

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.