Questão de geometria envolvendo um pentágono e a utilização da razão trigonométrica tangente. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR .

Questão de porcentagem no cálculo do preço de um livro que está com desconto. Confira a seguir o enunciado e a resolução comentada dessa questão de matemática da UFPR .

Questão sobre coordenadas do vértice da parábola de uma função quadrática (função do segundo grau). Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR .

Questão de geometria analítica sobre retas paralelas no plano cartesiano. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR .

Questão de matemática que envolve logaritmos e equação do segundo grau. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR .

Questão de geometria plana sobre paralelogramo e semelhança de triângulos. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR .

(UFPR 2026) Questão de matemática que envolve a soma dos termos de uma progressão aritmética. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão da UFPR .

Questão de análise combinatória aplicada a uma disputa por pênaltis no futebol. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR .

( UFPR 2025 )  Assinale a alternativa que corresponde ao maior número inteiro x que satisfaz a desigualdade 2 x – 10 ≤ – 3 x + 8. a) –2 b) 0 c) 3 d) 4 e) 5 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. 2 x  – 10 ≤ – 3 x  + 8 2 x +   3 x  ≤ 10 + 8 5 x  ≤ 18 x  ≤ 18/5 x  ≤ 3,6 O maior número inteiro x que satisfaz a inequação é igual a 3 . Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR . Um forte abraço e bons estudos.

( UFPR 2025 )  Um quadrado Q e um retângulo R possuem, cada um, área de 25 cm². O comprimento de um dos lados do retângulo R é igual à metade do comprimento do lado do quadrado Q . Qual é a medida, em cm, do lado de maior comprimento do retângulo R ? A) √5 B) √10 C) 5/2 D) 5 E) 10 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Resolvendo esse problema de geometria plana passo a passo, em primeiro lugar, vamos descobrir o  comprimento (L) do lado do quadrado   Q usando a fórmula da área do quadrado. Área do quadrado = L x L  Área do quadrado  = L² O enunciado informa que o quadrado Q possui área de 25 cm². 25 = L² L  = 5 cm O enunciado nos informa o seguinte: " o comprimento de um dos lados do retângulo  R  é igual à metade do comprimento do lado do quadrado  Q ".  Ou seja, esse comprimento é igual a 5/2 = 2,5 cm.  Vamos ilustrar esse retâng...

( UFPR 2025 )  Sejam as funções f(x) = 2 x , g(x) = 4x e h(x) = log 8 x.  A função composta   u = h  ∘ g  ∘ f é uma função afim.  Assinale a alternativa que corresponde ao coeficiente angular da função u . A) 1/3 B) 2/3 C) 4/3 D) 1 E) 2 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Uma questão interessante para trabalharmos com diferentes tipos de funções, como função do primeiro grau, função exponencial e função logarítmica, onde vamos usar também algumas das  propriedades dos logaritmos . Vamos encontrar u(x) = h(g(f(x))) passo a passo: g(x) = 4x g(f(x)) = 4 f(x)  g(f(x)) = 4 ·  2 x g(f(x)) =  2 2  ·  2 x g(f(x)) =  2 x+2   h(x) =  log 8  x h(g(f(x))) =  log 8   2 x+2   Agora, vamos trocar h(g(f(x))) por simplesmente u(x). u(x) =  log 8   2 x+2   Sabemos que 8 =  2 3  , entã...

( UFPR 2025 )  O gráfico da função f(x) = x² + bx + c intersecta o eixo x nos pontos x = –1 e x = 3.  Determine o valor de b + c. A) –5 B) –4 C) –1 D) 2 E) 5 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. O enunciado afirma que o gráfico da f(x)  intersecta o eixo  x  nos pontos  x  = – 1 e  x  = 3.  Isto quer dizer que elas são raízes da f(x). x² + bx + c = 0 A soma das raízes é igual -b/a O produto das raízes é igual a c/a Neste problema,  Soma das raízes = -1 + 3 = 2 Produto das raízes = -1 · 3 = -3 Coeficiente a = 1  Com estes valores, podemos encontrar os coeficientes b e c. -b/a = 2 -b/1 = 2 -b = 2 b = -2 c/a = -3 c/1 = -3 c = -3 Finalmente, o valor de b + c = (-2) + (-3) = -5 Alternativa correta é a letra a). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR . Um forte abraço e bons estudos.

( UFPR 2025 )  No plano cartesiano, considere os pontos P = (2 a , 0) e Q = ( a +1, a -1), sendo a um número real positivo. Sabendo que a distância entre  P  e Q é igual a √8 cm, assinale a alternativa que corresponde ao valor de a . A) 1/2 B) √3 C) 1 D) 2 E) 3 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Na geometria analítica, podemos calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano por meio da fórmula da distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) que é dada por: d =  √ (x2-x1)² + (y2-y1)² √8  = √ (a+1-2a)² + (a-1-0)² √8  = √ (1-a)² + (a-1)² 8 = (1-a)² + (a-1)² A partir de agora, é possível desenvolver os produtos notáveis. Entretanto, vamos adotar o seguinte caminho: sabemos que 1-a = -1 · (a-1) = -(a-1)   Vamos fazer essa substituição: 8 = [ -(a-1) ]² + (a-1)² 8 =...

( UFPR 2025 )  Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P , conforme figura ao lado. A reta r tangencia as duas circunferências nos pontos A e B .  Assinale a alternativa que corresponde à distância, em cm, entre os pontos  A  e  B . a) √ 3 b) √ 5 c) 2√ 2 d) 2√ 3 e) 2√ 5 Solução:  questão de matemática (geometria plana) do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Para resolver essa questão, vamos preencher a figura com as informações do enunciado, isso vai nos permitir visualizar a solução do problema. O ponto C é o centro da circunferência com raio de 1 cm e o ponto D é o centro da circunferência com raio de 3 cm.  Nosso objetivo é calcular a distância entre A e B, que neste caso, foi ilustrada com o valor de x.  Podemos encontrá-la usando o Teorema ...

( UFPR 2025 )  Sabendo que sen x = 3/5, assinale a alternativa que corresponde ao valor de cos (2x).  A) 2/25 B) 3/25 C) 7/25 D) 9/25 E) 16/25 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Usando a fórmula do cosseno do arco duplo:     cos (2x) = cos²x - sen²x Identidade trigonométrica fundamental:     sen²x + cos²x = 1 Na equação acima, isolar cos²x:     cos²x = 1 - sen²x Substituir n a fórmula do cosseno do arco duplo:     cos (2x) = 1 - sen²x - sen²x     cos (2x) = 1 - 2·sen²x Substituir sen x por 3/5      cos (2x) = 1 - 2·(3/5)²     cos (2x) = 1 - 2·(9/25)     cos (2x) = (25/25) - (18/25)     cos (2x) = 7/25 Alternativa correta é a letra c). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR . Um forte abraço e bons estudos.

( UFPR 2025 )  Três amigos vão viajar em um carro que possui cinco lugares. Durante a viagem, eles vão mudar de lugares, de modo que cada um ocupará, por vez, apenas um lugar no veículo. Como o lugar do condutor deve ser necessariamente ocupado e sabendo que eles vão se revezar na condução do carro durante a viagem, quantas configurações são possíveis?  A) 9 B) 12 C) 18 D) 36 E) 120 Solução:  questão de matemática (análise combinatória) do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Para ilustrar a resolução dessa questão, vamos considerar que os três amigos sejam A, B e C.  Ao montar as configurações possíveis, primeiramente, temos 3 possibilidades para o lugar do condutor.  Imagine, por exemplo, que A está no volante, assim, B e C irão ocupar as outras quatro vagas.  Temos 4 possibilidades para B e depois temos (4-1) = 3 possibilidades para C. Deste modo, a quantidade de configurações possíveis é igua...

( UFPR 2025 )  Em um campeonato de futebol, cada vitória vale 3 pontos, o empate vale apenas 1 ponto e a derrota, nenhum ponto. Um time perdeu apenas 2 dos 34 jogos que disputou e somou 78 pontos. Quantos empates ele obteve na competição? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024. Vamos resolver essa questão passo a passo com um sistema de equações lineares. Sejam,  x a quantidade de empates; y a quantidade de vitórias. Sabemos que a soma da quantidade de derrotas, empates e vitórias é igual ao total de jogos que esse time disputou, foram 34 jogos no total.  Sabemos também que ele perdeu 2 destes jogos.  Assim, temos que 2 + x + y = 34 x + y = 34 - 2 x + y = 32  "Equação I" A seguir, vamos montar mais uma equação com a seguinte informação do enunciado: cada vitória vale 3 pontos, o empate vale apenas 1 ponto e a derrota, nenhum ponto. Pontos obt...

( UFPR 2024 )  Considere a função f(x) = -x² + 6x - 8.  No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o eixo x. Sendo R = (a,b) um ponto do gráfico de f, com b>0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo PQR. A) 1  B) 2  C) 3  D) 4  E) 6 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Para encontrar as interseções do gráfico de f com o eixo x, precisamos calcular f(x) = 0. f(x) = -x² + 6x - 8 -x² + 6x - 8 = 0 Vamos encontrar as raízes dessa equação utilizando a fórmula da soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau ( Relações de Girard ). Soma das raízes = - b/a = -6/-1 = 6 Produto das raízes = c/a = -8/-1 = 8 Podemos notar que 8 = 2x2x2 = 4 x 2 6 = 4 + 2 As raízes de f(x) são 2 e 4.  Deste modo, os pontos P e Q são os pontos (2,0) e (4,0).  Além disso, a parábola tem o...

( UFPR 2024 )  A circunferência C na figura ao lado está centrada no ponto A = (1,1) e tangencia os eixos coordenados. A reta r passa pela origem O e pelo ponto A, intersectando a circunferência no ponto P, conforme indica a figura. A reta s é tangente à circunferência no ponto P e intersecta o eixo x no ponto Q. Assinale a alternativa que corresponde à abcissa do ponto Q. a) 2√2 b) 3√2  -1 c) 1 + 2√2 d) 4√2  -2 e) 2 + √2  Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Uma questão de geometria analítica bem interessante, vamos resolver essa questão utilizando também as relações trigonométricas no triângulo retângulo.  Em primeiro lugar, podemos notar que a circunferência tem raio igual a 1 e que o segmento OA é a digonal de um quadrado de lado com medida 1, logo, OA = √2 , conforme ilustrado a seguir:   Também, podemos perceber que a reta r é a reta de equação y = ...

( UFPR 2024 )  Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos Q e R, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo que o perímetro da região hachurada mede (2π + 8) cm, assinale a alternativa que corresponde à medida do raio da circunferência em cm. A) 2  B) 3  C) 4  D) 5  E) 6   Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023. Uma questão bem interessante da UFPR sobre geometria plana, nesta figura, precisamos observar que os pontos P, R, Q e C (centro do círculo) formam um quadrado cujo lado tem medida igual ao raio (r) da circunferência.  Vamos verificar isso passo a passo a seguir: Para facilitar os comentários, as retas receberam os nomes a e b .  Como elas tangenciam a circunferência em R e Q, então o segmento CR é perpendicular à reta a, assim como o segmento...