(UFPR 2024) Duas retas no plano se intersectam no ponto P, formando um ângulo reto. Além disso, essas retas são tangentes a uma circunferência nos pontos Q e R, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo que o perímetro da região hachurada mede (2π + 8) cm, assinale a alternativa que corresponde à medida do raio da circunferência em cm.



A) 2  B) 3  C) 4  D) 5  E) 6  

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023.

Uma questão bem interessante da UFPR sobre geometria plana, nesta figura, precisamos observar que os pontos P, R, Q e C (centro do círculo) formam um quadrado cujo lado tem medida igual ao raio (r) da circunferência.  Vamos verificar isso passo a passo a seguir:


Para facilitar os comentários, as retas receberam os nomes a e b.  Como elas tangenciam a circunferência em R e Q, então o segmento CR é perpendicular à reta a, assim como o segmento CQ é perpendicular à reta b.  Note que CR e CQ medem o raio (r) da circunferência.  

No quadrilátrero PRCQ, o ângulo em P foi informado no enunciado como sendo de 90°, como as retas tangenciam a circunferência em R e Q, então também há neles ângulos de 90º.  Com isso, obrigatoriamente, o ângulo em C tem que ser de 90°, pois a soma dos 4 ângulos internos de PRCQ tem que ser igual a 360°.

Podemos notar que PRCQ é um retângulo, pois possui quatro ângulos de 90°.  Além disso, sabemos que um retângulo com dois lados adjacentes iguais é um quadrado.  Note que os lados adjacentes CR=CQ = r .  Deste modo, temos que as medidas de CR = PQ e também CQ = PR.    Conclusão: PRCQ é um quadrado de lado r. 

O enunciado nos informa que o perímetro da região hachurada mede (2π + 8) cm.  O perímetro dessa  região é igual a soma (arco RQ + PR + PQ)

Relembrando a fórmula do arco de circunferência:

arco = θ . raio

  • θ é a medida do ângulo central, no caso dessa questão é o ângulo de 90°, que em radianos é igual a π/2 radianos;
  • raio é a medida do raio da circunferência, no caso dessa questão o raio mede r.

arco RQ = (π/2) . r

Somando as medidas, temos

Perímetro = (arco RQ + PR + PQ)
Perímetro = (π/2)r + r + r

Observando  o número (2π + 8) cm e as alternativas de resposta (todos os raios são inteiros), podemos notar que o raio precisa ser de 4 cm.  Perceba:

2π + 8
(π/2).4 + 4 + 4 

Também podemos obter o raio r por meio de uma equação:

(π/2)r + r + r = 2π + 8
r (2 +  π/2) = 2 (π + 4)
r (4 +  π)/2 = 2 (π + 4)
r (4 +  π) / 2 = 2 (π + 4)
r = 2 . 2
r = 4 cm

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.