(UFPR 2025) Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P, conforme figura ao lado. A reta r tangencia as duas circunferências nos pontos A e B. Assinale a alternativa que corresponde à distância, em cm, entre os pontos A e B.

(UFPR 2025) Duas circunferências com raios de 1 cm e 3 cm são tangentes no ponto P, conforme figura ao lado. A reta r tangencia as duas circunferências nos pontos A e B.  Assinale a alternativa que corresponde à distância, em cm, entre os pontos A e B.

a) √3
b) √5
c) 2√2
d) 2√3
e) 2√5

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Solução: questão de matemática (geometria plana) do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2025. Prova aplicada em 20/10/2024.

Para resolver essa questão, vamos preencher a figura com as informações do enunciado, isso vai nos permitir visualizar a solução do problema.

O ponto C é o centro da circunferência com raio de 1 cm e o ponto D é o centro da circunferência com raio de 3 cm.  Nosso objetivo é calcular a distância entre A e B, que neste caso, foi ilustrada com o valor de x.  Podemos encontrá-la usando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CDE.  Nele, podemos notar o seguinte:

• CE tem a mesma medida que AB, portanto, mede x; 
• DE mede o raio maior menos o raio menor, portanto, mede (3-1) = 2 cm;
• CD mede a soma dos raios, portanto, mede (3+1) = 4 cm;

Finalmente, vamos encontrar x com a ajuda do Teorema de Pitágoras.

CE² + DE² = CD²

x² + 2² = 4²

x² + 4 = 16

x² = 16 - 4

x² = 12

x = 2√3 cm

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.