(UFPR 2024) A circunferência C na figura ao lado está centrada no ponto A = (1,1) e tangencia os eixos coordenados. A reta r passa pela origem O e pelo ponto A, intersectando a circunferência no ponto P, conforme indica a figura. A reta s é tangente à circunferência no ponto P e intersecta o eixo x no ponto Q. Assinale a alternativa que corresponde à abcissa do ponto Q.

a) 2√2
b) 3√2  -1
c) 1 + 2√2
d) 4√2  -2
e) 2 + √2 

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023.

Uma questão de geometria analítica bem interessante, vamos resolver essa questão utilizando também as relações trigonométricas no triângulo retângulo.  Em primeiro lugar, podemos notar que a circunferência tem raio igual a 1 e que o segmento OA é a digonal de um quadrado de lado com medida 1, logo, OA = √2 , conforme ilustrado a seguir:  


Também, podemos perceber que a reta r é a reta de equação y = x, isto porque ela passa pelos pontos (0,0) e (1,1).  Sabemos que essa reta forma um ângulo de 45° com o eixo x, de modo que o ângulo entre os segmentos OP e OQ vale 45°.  

Além disso, a outra reta, ou seja, a reta s é tangente à circunferência no ponto P, logo ela forma um ângulo de 90°com o segmento AP que é a medida do raio da circunferência.  Isto já é suficiente para percebermos que o triângulo OPQ é retângulo em P.  

Vamos atualizar nossa figura com essas informações.


O objetivo da questão é encontrar a abcissa do ponto Q (x,0).  Note que podemos fazer isso utilizando o cosseno de 45° no triângulo retângulo OPQ.

cos 45° = cateto adjacente / hipotenusa
cos 45° = OP / OQ
(√2)/2 = (1 + √2) / x
x . √2 = 2 . (1 + √2)
x =  2 + 2√2 
          √2
x =  2 + 2√2   * √2
          √2               √2
x =  2√2 + 2.2 
              2
x =  2(√2 + 2) 
              2
x = 2 + √2

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.