(UFPR 2026) Os números reais 𝒙 e 𝒚 satisfazem as equações:

Questão de matemática que envolve logaritmos e equação do segundo grau.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR.

Enunciado da Questão

Os números reais 𝒙 e 𝒚 satisfazem as equações:

Assinale a alternativa que corresponde ao valor da razão 𝒚/𝒙 .

A) 3/4
B) 2
C) 3
D) 5
E) 6

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Fonte: questão de matemática do Vestibular UFPR 2026 - Edital n.° 28/2025, prova aplicada em 05/10/2025.

Resolução Comentada

Vamos resolver passo a passo este problema que envolve logaritmos e uma equação do segundo grau. É uma ótima oportunidade para praticarmos as propriedades dos logaritmos.

Passo 1: Condições de Existência (CE) dos Logaritmos

log_a (b)

✅ b > 0 ; a > 0 e a ≠ 1 .

Neste problema, para os logaritmos existirem, precisamos de:

• x > 0
• y > 0
• 3y - 1 > 0 ⇒ 3y > 1 ⇒ y > 1/3

Portanto, o conjunto solução deve satisfazer: x > 0 ; y > 1/3.

Passo 2: Trabalhar na primeira equação

log₃(3y – 1) = 2 + log₃x

Vamos substituir o 2 por log₃ 9. Você pode conferir passo a passo a seguir:

2 = 2 · 1 = 2 · log₃ 3 = log₃ 3² = log₃ 9

log₃(3y – 1) = log₃ 9 + log₃x

Assim, todos os logaritmos estão com a mesma base = 3.

log₃(3y – 1) = log₃ 9x

3y – 1 = 9x

9x – 3y + 1 = 0

Passo 3: Trabalhar na segunda equação

2 log₂y = 2 + log₂x

Novamente, faremos uma troca daquele 2.  Neste caso, será uma troca por log₂ 4.

log₂y² = log₂ 4 + log₂x

Assim, todos os logaritmos estão com a mesma base = 2.

log₂y² = log₂ 4x

y² = 4x

x = y²/4

Passo 4: Encontrar o valor de y

Agora, vamos substituir x por y²/4 na equação encontrada no passo 2.

9x – 3y + 1 = 0

9(y²/4) – 3y + 1 = 0

Multiplicamos os dois lados da igualdade por 4.

9y² – 12y + 4 = 0

Neste ponto da resolução, podemos usar várias formas para resolver esta equação do segundo grau.  Analisando com calma, é possível notar que estamos diante de um trinômio quadrado perfeito.

(a² – 2ab + b²) = (a – b)²

(3y)² – 2(3y)(2) + (2)² = 0

(3y – 2)² = 0

3y – 2 = 0 ⇒ y = 2/3

Verificando a Condição de Existência: y = 2/3 é maior que 1/3? Sim. Portanto, o valor é válido.

Passo 5: Encontrar o valor de x

Usamos a equação encontrada no passo 3.

x = y²/4

x = (2/3)²/4

x = (4/9) / 4

x = (4/9) · (1/4)

x = 1/9

Verificando a Condição de Existência: x = 1/9 é maior que 0? Sim. Portanto, o valor é válido.

Passo 6: Prova Real

x = 1/9 = 3^–2  ;   y = 2/3

Equação 1

log₃(3y – 1) = 2 + log₃x

log₃(3(2/3) – 1) = 2 + log₃(3^–2)

log₃1 = 2 –2 log₃3

0 = 2 – 2 · 1 ✅

Equação 2

2 log₂y = 2 + log₂x

2 log₂(2/3) = 2 + log₂(3^–2)

2 ( log₂2 – log₂3 )  = 2 –2 log₂3

2 ( 1 – log₂3 ) = 2 –2 log₂3 ✅

Passo 7: Calcular a razão y/x

y / x = (2/3) / (1/9)

y / x = (2/3) · (9/1)

y / x = 6

Resposta Correta

(E) 6

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É um problema bem interessante que envolve geometria espacial e logaritmos. A seguir você pode conferir o enunciado completo e a resolução passo a passo. Saiba mais: ➡️ questão de logaritmos da UFPR .

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Um forte abraço e bons estudos.