(UFPR 2024) Considere a função f(x) = -x² + 6x - 8.  No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o eixo x. Sendo R = (a,b) um ponto do gráfico de f, com b>0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo PQR.

A) 1  B) 2  C) 3  D) 4  E) 6

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2024. Prova aplicada no dia 22/10/2023.

Para encontrar as interseções do gráfico de f com o eixo x, precisamos calcular f(x) = 0.

f(x) = -x² + 6x - 8
-x² + 6x - 8 = 0

Vamos encontrar as raízes dessa equação utilizando a fórmula da soma e produto das raízes de uma equação do segundo grau (Relações de Girard).

Soma das raízes = - b/a = -6/-1 = 6
Produto das raízes = c/a = -8/-1 = 8

Podemos notar que

8 = 2x2x2 = 4 x 2
6 = 4 + 2

As raízes de f(x) são 2 e 4.  Deste modo, os pontos P e Q são os pontos (2,0) e (4,0).  Além disso, a parábola tem o coeficiente a = -1, que é um valor negativo, portanto a parábola tem sua concavidade voltada para baixo.  Com estas informações, já podemos esboçar a f(x).




Na figura, o ponto R(a,b) está exatamente no vértice da parábola, o ponto (3,1), isto porque o objetivo da questão é maximizar a área do triângulo PRQ.  O ponto R que vai proporcionar a maior área para este triângulo fica exatamente no vértice da parábola.  Note que a base do triângulo PRQ está fixa e vale (4-2) = 2 unidades.  Para obtermos a maior área para este triângulo, uma vez que a base está fixa com 2 unidades, então precisamos da maior altura possível e ela será obtida se colocarmos R exatamente no "topo da parábola", isto é, no seu ponto de máximo que fica no vértice da parábola.

Como encontrar as coordenadas do vértice da parábola?

As fórmulas das coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv) são: 

Xv = -b/2a 
Yv = -Δ/4a  onde  Δ = b² - 4ac

Podemos obter as coordenadas utilizando essas fórmulas, entretanto, nós já temos as duas raízes reais dessa parábola, e com elas também podemos obter as coordenadas do vértice da parábola, basta calcular a média aritmética entre elas.  Ou seja, somamos 2 + 4 = 6 e dividimos 6/2 = 3.  Com isso, temos que Xv = 3.  Como exercício, você pode obter Xv utilizando a fórmula.

Para obter Yv, também não vamos utilizar a fórmula. Vamos obter Yv calculando f(Xv).

Yv = f(Xv)
f(3) =  - 3² + 6.3 - 8
f(3) =  - 9 + 18 - 8
f(3) = 1

Como exercício, você também pode obter Yv utilizando a fórmula.

Verificamos assim que as coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv) são (3,1), já ilustradas no gráfico.

Finalmente, podemos calcular a área do triângulo PQR utilizando a fórmula:

Área = (base x altura)/2
Área = (2 x 1)/2
Área = 1 

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.