Questão sobre coordenadas do vértice da parábola de uma função quadrática (função do segundo grau).
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR.
Enunciado da Questão
A função quadrática f(x) satisfaz a igualdade f(2x+1) = 4x² + 10x + 9, para todo x ∈ R. Assinale a alternativa que corresponde ao vértice da parábola dada pelo gráfico de f(x).
| 3 | , | 11 |
| 2 | 4 |
| 3 | , – | 11 |
| 2 | 4 |
| – | 3 | , | 11 |
| 2 | 4 |
| 5 | , | 11 |
| 4 | 4 |
| – | 5 | , | 11 |
| 4 | 4 |
Resolução Comentada
Seja t = 2x + 1.
Agora, é possível isolar x.
2x = t – 1
x = (t – 1)/2
Na igualdade a seguir, fazer a substituição.
f(2x+1) = 4x² + 10x + 9
f(t) = 4[(t – 1)/2]² + 10[(t – 1)/2] + 9
f(t) = 4[(t – 1)²/4] + 5(t – 1) + 9
f(t) = (t – 1)² + 5t – 5 + 9
f(t) = t² – 2t + 1 + 5t + 4
f(t) = t² + 3t + 5
Com a f(t), já podemos encontrar as coordenadas do vértice da parábola. Também podemos trocar t por x, ou qualquer outra variável independente, neste caso, vamos utilizar x.
f(x) = x² + 3x + 5
Encontrar as coordenadas (Xv, Yv) do vértice da parábola.
Xv = –b/(2a) = –3/2
Yv = –(b² – 4ac)/(4a) = – (3² – 4 · 1 · 5) / 4 = – (9 – 20)/4 = 11/4
Resposta Correta
| – | 3 | , | 11 |
| 2 | 4 |
Observação: a função inversa de g(x) = 2x + 1 é a função g-1(x) = (x – 1)/2.
Exercício: dada a função f(x) = x² + 3x + 5, calcular f(2x+1).
Vamos substituir x por 2x + 1.
f(2x+1) = (2x+1)² + 3(2x+1) + 5
f(2x+1) = 4x² + 4x + 1 + 6x + 3 + 5
f(2x+1) = 4x² + 10x + 9 ✅
Mais uma possibilidade de solução para a questão da UFPR.
f(x) = ax² + bx + c
f(2x+1) = a(2x+1)² +b(2x+1) + c
f(2x+1) = a (4x² + 4x + 1) + 2bx + b + c
f(2x+1) = 4ax² + 4ax + a + 2bx + b + c
f(2x+1) = (4a)x² + (4a + 2b)x + (a + b + c)
Igualando a 4x² + 10x + 9
f(2x+1) = (4a)x² + (4a +2b)x + (a + b + c) = 4x² + 10x + 9
Assim, temos
4a = 4 ➡️ a = 1
4a + 2b = 10 ➡️ b = 3
a + b + c = 9 ➡️ c = 5
E assim, também é possível encontrar f(x) = x² + 3x + 5 e com ela obter o vértice.
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Um forte abraço e bons estudos.
