(UFPR 2026) Considere o paralelogramo ABCD ilustrado na figura ao lado. Sejam M o ponto médio do lado CD e N o ponto comum aos segmentos AC e BM. Sabendo que a medida do segmento AN é igual a 4/3, assinale a alternativa que corresponde à medida da diagonal AC.

Questão de geometria plana sobre paralelogramo e semelhança de triângulos.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR.

Enunciado da Questão

Considere o paralelogramo ABCD ilustrado na figura ao lado. Sejam M o ponto médio do lado CD e N o ponto comum aos segmentos AC e BM. Sabendo que a medida do segmento AN é igual a 4/3, assinale a alternativa que corresponde à medida da diagonal AC.

a) 2
b) 4
c) 5/3
d) 3
e) 8/3

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Fonte: questão de matemática do Vestibular UFPR 2026 - Edital n.° 28/2025, prova aplicada em 05/10/2025.

Resolução Comentada

Uma questão muito interessante de geometria plana que podemos resolver utilizando semelhança de triângulos. Vamos escrever na figura alguns ângulos e medidas importantes que vão nos permitir identificar a semelhança entre os triângulos ANB e CNM.

No paralelogramo ABCD, sabemos que AB = CD e que BC = DA. Além disso, os ângulos internos em D e B são iguais a um ângulo α qualquer. Os ângulos internos em A e C são iguais a um valor β qualquer que foi ilustrado como sendo β = β1 + β2.

A diagonal AC formou dois triângulos congruentes, são eles ADC e CBA, pois eles possuem lados com as mesmas medidas: AC = AC, AD = CB e AB = CD.  Pelo critério de congruência LLL (Lado-Lado-Lado), concluímos que os triângulos ADC e CBA são congruentes.

Na sequência, o segmento BM formou dois triângulos semelhantes, são eles ANB e CNM.   Em cada um desses dois triângulos há um ângulo de medida β2.  Além disso, o ângulo ANB é igual ao ângulo CNM pois são opostos pelo vértice (ambos medindo θ).  Assim,  os ângulos internos desses triângulos são β2, θ e (180º - β2 - θ).  Como os três ângulos correspondentes são iguais, concluímos que os triângulos são semelhantes.

Por exemplo, se estamos analisando dois triângulos e já identificamos que ambos possuem os ângulos de 40° e 60°, então obrigatoriamente o terceiro ângulo não conhecido será de (180° - 40° - 60°) = 80°, pois a soma dos três ângulos internos do triângulo mede 180°.  Somando 40° + 60° + 80° = 180°.

Agora vamos encontrar quanto mede x.

AN/CN = AB/CM

(4/3)/x = 2b/b

4/3 = 2x

2/3 = x

Finalmente, AC = AN + NC

AC = (4/3) + (2/3)

AC = 6/3

AC = 2

Resposta Correta

(A) 2

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Um forte abraço e bons estudos.