(UNICAMP 2025)  A figura a seguir mostra um triângulo ABC que contém dois quadrados em seu interior. O segmento GH é lado de um dos quadrados e está contido no segmento AB. O segmento EF, contido no segmento AC, é lado do outro quadrado. Sabendo que AG mede 4 cm e que o lado GH do quadrado menor mede 3 cm, o comprimento do segmento EF é:  a) 121/20. b) 111/20. c) 102/15. d) 98/15. Solução:  questão de matemática (geometria) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Em primeiro lugar, vamos ilustrar a figura com os valores do enunciado e acrescentar dois ângulos complementares α e β, ou seja, α + β = 90°.  Fazendo isso, vamos perceber que existem triângulos semelhantes nessa figura. No triângulo retângulo ADG, os catetos medem 3 e 4, logo, pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa AD = 5 cm.  Nosso objetivo é encontrar EF, que é igual a EJ.  Vamos encontr...

(Fuzileiro Naval 2025)  Em uma Unidade Militar, à noite, surgiu um objeto voador identificado como um drone, cuja forma pôde-se aproximar por um disco circular de raio r. O objeto pairava-se a 150 m do solo quando inadvertidamente um helicóptero de esclarecimento modelo UH-12 da Marinha do Brasil, situado aproximadamente 50 m acima do objeto, iluminou-o com um holofote conforme mostra a figura. O piloto rapidamente reportou à torre de controle a medida do raio aproximado do objeto, que fora abatido. Diante de tal fato, qual foi o raio do objeto voador reportado pelo piloto do helicóptero, em metros? (A) 1,50 (B) 1,25 (C) 1,00 (D) 0,75 (E) 0,50 Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2025, prova aplicada em 04/06/2024. Uma questão muito interessante de geometria plana sobre semelhança de triângulos, podemos notar que os triângulos ABC e ADE, identificados na figura a seguir, são seme...

(EEAR CFS 2/2024)  Num triângulo ABC, BC = 20 cm. Os pontos P, Q e R dividem o lado AB em quatro partes iguais, sendo P o ponto mais próximo de B. Seja S um ponto de AC , de forma que PS//BC. Então, PS = ___ cm.  a) 15 b) 10 c) 9 d) 5 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024 .  Prova aplicada em 19/11/2023. Para resolvermos essa questão de geometria plana, vamos ilustrar o triângulo ABC com as informações do enunciado.  Vamos identificar que os triângulos ABC e APS são semelhantes. Na figura, sabemos que PS é paralelo a BC, logo, os ângulos APS e ABC são correspondentes, o mesmo acontece com ASP e ACB. Podemos notar que os triângulos APS e ABC possuem os três angulos internos iguais, logo eles são  triângulos semelhantes. Teorema Fundamental da Semelhança de Triângulos "Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e inte...

( EsPCEx 2023 )  Um depósito de munições no formato retangular será construído em um campo de instrução do Exército Brasileiro.  A planta da construção prevê que esse retângulo esteja inscrito em uma área cujo formato é de um triângulo isósceles de base 24m e altura 16m.  A área máxima do depósito que atende  a essas condições é igual a : a) 32 m² b) 48 m² c) 64 m² d) 72 m² e) 96 m² Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023) . Prova aplicada no dia 17/09/2023. Para resolver essa questão, vamos considerar que o depósito de formato retangular possui dimensões x e y, de modo que a sua área (A) é dada pela fórmula: A = x . y  (Equação I) A seguir, vamos ilustrar o retângulo inscrito no triângulo isósceles e obter uma relação entre x e y. Com essa ilustração, é possível observar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo, temos que ED/CB = DA/BA  (Equação II) Sabemos...

(UERJ 2019)  No plano cartesiano, está representada a circunferência de centro P e raio 2. O ponto Q da circunferência, que é o mais distante da origem, tem coordenadas iguais a: a) (28/5 , 21/5) b) (31/5 , 26/5) c) (33/5 , 29/5) d) (36/5 , 37/5) Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2019 (2º Exame de Qualificação) , prova aplicada no dia 16/09/2018. Podemos resolver essa questão utilizando semelhança de triângulos.  Na figura a seguir, ilustramos novos pontos e algumas medidas importantes: A distância da origem até o centro P da circunferência vale 5, ela pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OBP, ou simplesmente visualizando que as medidas desse triângulo retângulo são 3,4 e 5. Além disso, podemos notar que os triângulos OBP e ODQ são semelhantes, logo, temos que QD = OD = OQ PB     OB    OP   OQ vale 7; OP vale 5; OB vale 4;  PB vale 3; QD é o yq que estamos buscand...

(UECE 2023.2)  Uma função f : R → R definida por f(x) = mx + n, onde m e n são números reais não nulos, é comumente denominada de função linear afim. Quando n = 0 e m ≠ 0, a função será chamada de função linear não nula. O gráfico de tais funções, quando desenhado em um plano munido de um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, é uma reta. Sejam f 1 (x) = m 1 x + p 1 e f 2 (x) = m 2 x + p 2 duas funções lineares afins distintas tais que a medida do ângulo que seus gráficos formam com o eixo das abscissas (eixo dos x) são múltiplos de 45° . Se os gráficos de f 1 e f 2 se cortam no ponto P = (5, 10), então, é correto afirmar que p 1 + p 2 é igual a  A) 20. B) 5. C) 15. D) 10. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023. Uma questão muito interessante de geometria analítica, onde podemos trabalhar também com alguns conceitos da geometri...

(EEAR CFS 1/2024)  Seja o triângulo ABC, retângulo em B, tal que o ponto E está em sua hipotenusa e o ponto D, no cateto AB, conforme a figura. Assim, o valor de b² + 4c² é _____ .  a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 1/2024 . Prova aplicada no dia 04/06/2023. Em primeiro lugar, podemos notar que os triângulos retângulos ADE e ABC são semelhantes.  Ao ilustrarmos os ângulos complementares α e β, ou seja, α + β = 90°, iremos perceber isto. Deste modo, temos que CA = BA EA      DA  4   =   BA   2         c BA = 2c O que vamos fazer agora é aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC. BC² + BA²  = AC² b² + (2c)² = 4² b² + 4c² = 16 Alternativa correta é a letra d). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores d...

(UERJ 2024)  Os azulejos quadrados ABCD, DEFG e FHIJ foram dispostos em um mostruário, conforme ilustrado na imagem. Nesse arranjo, os vértices B, C, E, H e I são colineares. As medidas das áreas revestidas pelos azulejos ABCD, DEFG e FHIJ, em cm² , são, respectivamente, 93, 157 e X.  O lado, em centímetros, do azulejo de menor área é igual a:  (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2024 (1º Exame de Qualificação),  prova aplicada no dia 04/06/2023. Para resolvermos esta questão de geometria plana, primeiramente vamos ilustrar, nos triângulos retângulos EDC e FEH os ângulos α e β que são complementares, ou seja, α + β = 90°.  Vamos ilustrar também as medidas dos lados dos quadrados maiores. Como a área do quadradao é dada pela fórmula: área = (lado)² , então O quadrado cuja área é 93, possui lado igual a √93 ; O quadrado cuja área é 157, possui lado igual a √157 . Vamos atualizar a figura pa...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Na recepção da passagem de comando da EAMSC os drinks foram servidos em taças cônicas de 320 ml.  Um dos convidados que estava com a taça completamente cheia, resolveu beber a quantidade do drink suficiente para que a bebida restante ficasse na metade da altura da taça, sem considerar sua base.  Com base nessas informações, assinale a opção que apresenta a quantidade de bebida que ele sorveu nesse gole. a) 280 ml. b) 200 ml. c) 160 ml. d) 80 ml. e) 40 ml. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Uma questão bem interessante de geometria espacial, para resolvê-la, vamos ilustrar o problema: Podemos perceber que o volume que ele sorveu é maior do que a metade do volume da taça, é possível notar isso observando que há mais volume na metade superior.  Ou seja, há mais volume no tronco de cone do que no cone menor na par...

(UERJ 2023)  Nos triângulos retângulos PQR e PST, representados a seguir, o ponto Q pertence ao segmento de reta PS e o ponto R pertence ao segmento de reta PT. As medidas dos segmentos PQ, QR e PS são, respectivamente, 41 cm, 9 cm e 100 cm. A medida do segmento ST, em centímetros, é igual a:  (A) 18 (B) 22,5 (C) 26 (D) 30,5 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2023,  prova do dia 04/12/2022. Uma questão de geometria plana da UERJ bem interessante.  Vamos primeiramente, ilustrar a figura com as medidas informadas no enunciado.  O objetivo da questão é encontrar a medida do segmento ST que foi ilustrado com valor igual a x . Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PRQ, iremos encontrar a medida do cateto PR. PR² + 9² = 41² PR² = 1681 - 81 PR² = 1600 PR = 40 cm Agora, vamos atualizar a figura com essa medida e ilustrar os ângulos α e β , que são complementares, ou seja,  α  +  β  = 90° Isso nos perm...

(ENEM 2022)  O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias. Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível. Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão? A) I B) II C) III D) IV E) V Solução:  questão de matemática do  ENEM 2022,   prova ap...

( UFPR 2023 )  Na figura ao lado, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto Q . Os raios dessas circunferências são R1 e R2 , com R1 < R2 .  Cada uma das retas 𝒓 e 𝒔 é tangente simultaneamente às duas circunferências; adicionalmente, essas retas se intersectam no ponto 𝑷. Qual é a distância entre os pontos 𝑷 e 𝑸? Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022. Mais uma questão bem interessante de geometria plana da UFPR, a prova sempre contém questões de matemática bem inteligentes.  Primeiramente, podemos notar, nas alternativas de resposta, que a medida PQ está em termos de R1 e R2.  Para obtermos uma relação entre eles, vamos utilizar a semelhança de triângulos, vamos verificar isso na ilustração a seguir: Podemos notar que os triângulos POO' e PII' são semelhantes.  Logo, temos que    II'   =   PI   OO' ...

( ESA 2023 )  Na figura, ∆𝐴𝐵𝐶 é um triângulo retângulo, Q é o ponto médio de 𝐴𝐵. 𝑄𝑃 é paralelo a 𝐵𝐶. Sendo 𝐴𝐶 = 30𝑐𝑚, qual é a medida de 𝑃𝑂? A) 15 cm B) 5 cm C) 10 cm D) 7 cm E) 6 cm Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Nessa questão de geometria plana, vamos trabalhar bastante com semelhança de triângulos.  Sabendo que o ponto Q é o ponto médio de AB, então BQ = QA.  Vamos atribuir a estes dois segmentos iguais o valor de x e com isso atualizar a figura Podemos notar que os triângulos AQP e ABC são semelhantes, sendo assim, temos que AB = BC = AC AQ    QP     AP Vamos obter as medidas de CP e AP AB  =   AC AQ     AP 2x   = 30  x        AP 2. AP = 30 AP = 15 Sabemos que  AP + CP = 30 15 + CP = 30 CP = 15...

(EPCAR 2023)  Considere: ABCD um quadrado cujo lado mede x cm; M e N pontos médios dos lados AB e BC do quadrado, respectivamente; M, N e L alinhados; MN = NL; MLK um triângulo isósceles de base MK; e  A, M, B e K alinhados. A medida MK, em função de x , em cm, é igual a a) x/2 b) x c) x√2 d) 2x Solução:  questão de matemática da EPCAR (Escola Preparatória de Cadetes do Ar)  -  Exame de Admissão ao CPCAR 2023 (prova aplicada no dia 10/07/2022). Uma questão muito interessante de geometria plana, onde precisamos desenhar figuras planas de acordo com os requisitos do enunciado.  Depois de desenhar o quadrado e o triângulo isósceles, chegaremos até a figura a seguir: Podemos encontrar o valor de MN = NL = y usando o Teorema de Pitágoras. y² = (x/2)² + (x/2)² y² = x²/4 + x²/4 y² = 2x²/4 y = (x√2)/2 ** Este valor também pode ser encontrado visualizando que y tem a mesma medida da diagonal de um quadrado cujo lado vale (x/2), sabemos que a digonal de um...

(EEAR CFS 1/2023) No plano cartesiano, os pontos C, D e E dividem o segmento AB em partes de mesma medida, sendo C o ponto mais próximo de A e E o ponto mais próximo de B.  Se A(3, 1) e B(15, 5), então as coordenadas de E são ______.  a) (8, 3) b) (8, 4) c) (12, 3) d) (12, 4) Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022. Em primeiro lugar, vamos calcular o tamanho do segmento AB.  Para fazer isso, vamos aplicar a fórmula da geometria analítica da distância entre dois pontos A e B. dAB = √[ (Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²] dAB = √[ (15-3)² + (5-1)²] dAB = √[ (12)² + (4)²] dAB = √[ 144 + 16] dAB = √160 dAB = 4√10 Sabemos que os pontos C, D e E estão contidos no segmento AB e o dividem em partes de mesma medida.  Isto quer dizer que eles estão dividindo AB em 4 partes de (4√10)/4 = √10. A | √10 | C | √10 | D | √10 | E | √10 | B Sendo assim, a ...

(UECE 2021.1)  Seja XYZ um triângulo retângulo em Y cuja medida do cateto XY é igual a 6 cm. Se a perpendicular a XZ que contém o ponto médio M do cateto XY intercepta XZ no ponto P, e se a medida do segmento PM é igual a 1,5 cm, então, a medida, em cm, do segmento MZ é igual a a) √ 21. b) (2/3)√ 21. c) 2 √ 21. d) √  21   .            2 Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2021.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 20/06/2021. Uma questão de geometria plana muito interessante, onde utilizaremos o Teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos.  Inicialmente, vamos ilustrar o triângulo retângulo XYZ com as informações do enunciado. Note que os triângulos retângulos XYZ e XPM são triângulos semelhantes.  Escrevendo os ângulos α e β no triângulo retângulo XYZ, podemos perceber, no triângulo XPM, que ele possui os ângulos de 90° e α...

(FATEC 2018)  Leia os textos e o gráfico para responder às questões de números 32 a 34. Um artista plástico deseja construir uma obra chamada “A pirâmide da desigualdade da riqueza no Brasil”. Ele fará uma réplica do gráfico apresentado, mantendo todas as suas proporções. Nesse gráfico, considere que a altura da pirâmide referente à riqueza dos 10% mais ricos seja 90% da altura da pirâmide total de distribuição de riqueza e que essas pirâmides sejam semelhantes entre si. Para construir a obra, ele utilizará quatro triângulos isósceles congruentes entre si e um quadrado, todos feitos de metal, deixando o interior da pirâmide vazio. A pirâmide terá 4 metros de altura, e a base quadrada terá 6 metros de lado. Questão 33)  Para destacar a diferença entre os mais ricos e os mais pobres, o artista pintará toda a área lateral da obra com tons diferentes de tinta, um mais escuro (para os 10% mais ricos) e outro mais claro (para os 90% mais pobres), como no gráfico. O custo da tin...

(UFPR 2022)  Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD, e os triângulos retângulos ABC e BDE.  Suponha que o comprimento de AB é igual a x, e que o comprimento de AC é igual a y. Considerando que os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento, qual das alternativas abaixo corresponde ao valor do comprimento do segmento DE? Solução:  questão de matemática  do Vestibular UFPR 2022,  prova do dia 13/02/2022. Uma questão bem interessante de geometria plana, onde precisamos notar a presença da semelhança de triângulos. Primeiramente, vamos identificar na figura as informações dadas e outras importantes que surgem a partir destas. Perceba que os ângulos no ponto B, os quais chamamos de α, são ângulos iguais.  Além disso, cada triângulo tem um ângulo de 90°.  Sendo assim, o outro ângulo em cada triângulo, que chamamos de β, também serão iguais.  Ou seja, temos dois triângulos retângulos com os 3 ângulos internos iguais, logo, esses...