(ENEM 2022) O governo de um estado pretende realizar uma obra de infraestrutura para auxiliar na integração e no processo de escoamento da produção agrícola de duas cidades. O projeto consiste na interligação direta das cidades A e B com a Rodovia 003, pela construção das Rodovias 001 e 002. As duas rodovias serão construídas em linha reta e deverão se conectar à Rodovia 003 em um mesmo ponto, conforme esboço apresentado na figura, na qual estão também indicadas as posições das cidades A e B, considerando o eixo x posicionado sobre a Rodovia 003, e cinco localizações sugeridas para o ponto de conexão entre as três rodovias.

Pretende-se que a distância percorrida entre as duas cidades, pelas Rodovias 001 e 002, passando pelo ponto de conexão, seja a menor possível. Dadas as exigências do projeto, qual das localizações sugeridas deve ser a escolhida para o ponto de conexão?

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

Solução: questão de matemática do ENEM 2022,  prova aplicada no dia 20/11/2022.

Questão com uma aplicação bem interessante da matemática, vamos resolvê-la utilizando alguns métodos diferentes.

Uma alternativa gráfica para resolver essa questão, seria o de ilustrar o ponto B' que é o ponto simétrico do ponto B em relação ao eixo x.  Note que o ponto B tem coordenadas (50,20) e, por isso, o ponto B' terá coordenadas (50,-20).  Depois disso, você conectaria A até B' passando pelos 5 pontos de conexão no eixo x.  A distância mínima será aquela que representar uma linha reta entre A e B' ("sem fazer curvas").   Vamos ilustrar isso para uma melhor compreensão.





** Tranquilo visualizar agora que é o ponto de conexão IV, comparado aos demais, que vai dar a menor distância percorrida no total?

Vamos tentar entender isso, em primeiro lugar, podemos notar que as distâncias a seguir são todas iguais:

I até B = I até B'
II até B = II até B'
III até B = III até B'
IV até B = IV até B'
V até B = V até B'

Você consegue visualizar o motivo dessas distâncias serem iguais?

Vamos olhar para a igualdade:

I até B = I até B'

Ambas são hipotenusas, respectivamente, dos triângulos retângulos IVB e IVB' que possuem catetos iguais.  Pelo Teorema de Pitágoras, essas hipotenusas terão medidas iguais.  E isso vale para as cinco igualdades.

O que o problema quer é a menor distância de A até B passando pelo ponto de conexão.  Se você notar, da forma como ilustramos, essa medida será a mesma medida da distância de A até B' passando pelo ponto de conexão.  Deste modo, o melhor seria "traçar uma linha reta partindo de A e indo até B' sempre em frente sem fazer curvas".  Note que isso só acontece no ponto de conexão IV.  Nos demais pontos de conexão, o percurso está sendo feito "com curvas", ou seja, está sendo feito fora dessa trajetória mais curta, fazendo com que o motorista saia da rota ótima e depois tenha que fazer uma curva, percorrendo assim uma distância maior.

** Detalhe importante, antes de marcarmos a alternativa d) vamos assumir que o esboço da prova possa estar com as medidas desproporcionais em alguns trechos e vamos, portanto, encontrar esse ponto ótimo fazendo cálculos.  O que vamos fazer é encontrar qual é o ponto C de coordenadas (X,0) no gráfico onde deve ser instalado o ponto de conexão.  Vamos fazer isso a seguir por dois métodos distintos, um com geometria analítica e outro usando a geometria plana:

Método 1) usando geometria analítica:

Vamos fazer exatamente o que fizemos na ilustração anterior.  Dados os pontos A (20,40) e B(50,20), temos que o simétrico de B em relação ao eixo x é o ponto B'(50, -20).   Vamos agora encontrar o coeficiente angular (m) da reta que passa por A e B'.

m = Δy/Δx
m = (y2-y1)/(x2-x1)
m = (-20-40)/(50-20)
m = -60/30
m = -2

Note que os pontos A, B' e o ponto C de conexão que possui coordenadas (x,0) estão alinhados, logo o coeficiente angular da reta que passa por A e C também vale -2.

-2 = (0-40)/(x-20)
-2 = -40 / (x-20)
-2 (x-20) = -40
-2x + 40 = -40
2x = 80
x = 40

E podemos concluir assim que o ponto de conexão C de coordenadas (40,0) é o que dará a menor distância percorrida entre as cidades A e B passando pela rodovia 003.  Portanto, deve-se escolher o ponto IV.

Alternativa correta é a letra d). 

Ainda neste método, você poderia encontrar a abscissa de C por meio da condição de alinhamento dos pontos A, C e B' usando determinantes.  Saiba mais aqui.

Método 2) usando geometria plana e aplicando a semelhança de triângulos

Ilustrando as medidas a seguir, vamos notar uma semelhança de triângulos.


Note que a menor distância de A até B passando por C será igual a distância de A até B' que passa em linha reta por C.  Note que as distâncias CB e CB' são iguais, isto porque conforme já vimos anteriormente ambas são hipotenusas de dois triângulos retângulos com catetos iguais.  Perceba que o triângulo retângulo CBE tem as mesmas medidas do triângulo retângulo CB'E.   "É como se um fosse o espelho do outro".   

Agora, vamos ilustrar os ângulos internos, olhando para o triângulo ACD, o ângulo em D é de 90°, o ângulo em C chamaremos de α e o ângulo em A chamaremos de β.  De modo que α + β = 90°.   Vamos atualizar a figura:


Vamos preencher os ângulos em CEB', em E o ângulo é de 90°, em C o ângulo é o mesmo que α (pois é oposto pelo vértice) e em B' terá que valer β para completar 180°.  E como o triângulo CEB é idêntico ao CEB', vamos repetir os mesmos ângulos e finalizar a figura:


Podemos notar agora que há uma semelhança entre os triângulos ADC e BEC, repare na ilustração a seguir a qual destacaremos esses dois triângulos:

De modo que

AD/BE = DC/EC
40/20 = k / (30-k)
2 . (30-k) = k
60 - 2k = k
3k = 60
k = 20

Mas lembre-se que a medida k = 20 representa a distância entre os pontos D e C.  Como o ponto D tem abscissa igual a 20, então somamos mais 20 e chegamos em 20 + 20 = 40 que é o valor da abscissa de C(40,0).  Podemos concluir assim que o ponto de conexão IV de coordenadas (40,0) é o ponto que dá a menor distância entre as cidades A e B passando pela rodovia 003.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores do ENEM.

Um forte abraço e bons estudos.