(EEAR CFS 1/2023) No plano cartesiano, os pontos C, D e E dividem o
segmento AB em partes de mesma medida, sendo C o ponto
mais próximo de A e E o ponto mais próximo de B. Se A(3, 1) e B(15, 5), então as coordenadas de E são ______.
a) (8, 3)
b) (8, 4)
c) (12, 3)
d) (12, 4)
Solução: questão de matemática da
EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2023. Prova aplicada no dia 05/06/2022.
Em primeiro lugar, vamos calcular o tamanho do segmento AB. Para fazer isso, vamos aplicar a fórmula da geometria analítica da distância entre dois pontos A e B.
dAB = √[ (Xb-Xa)² + (Yb-Ya)²]
dAB = √[ (15-3)² + (5-1)²]
dAB = √[ (12)² + (4)²]
dAB = √[ 144 + 16]
dAB = √160
dAB = 4√10
Sabemos que os pontos C, D e E estão contidos no segmento AB e o dividem em partes de mesma medida. Isto quer dizer que eles estão dividindo AB em 4 partes de (4√10)/4 = √10.
A|√10|C|√10|D|√10|E|√10|B
Sendo assim, a distância entre E e B é igual a √10. Além disso, o ponto E (xe,ye) está sobre a reta que passa por A e B. Vamos encontrar a equação de reta que passa por A e B, para tanto precisaremos calcular o coeficiente angular entre A e B.
mAB = (yb-ya)/(xb-xa)
mAB = (5-1)/(15-3)
mAB = 4/12
mAB = 1/3
Agora, vamos obter a equação de reta que passa pelo ponto A(3, 1) e que tem coeficiente angular igual a 1/3.
y - yo = m (x - x0)
y - 1 = (1/3) (x - 3)
y = x/3 - 1 + 1
y = x/3
Como o ponto E(x,y) pertence à reta y = x/3
então, sabemos ele tem coordenadas E(x, x/3)
Ou seja, basta encontrarmos o valor de x, que o valor de y será um terço deste valor.
Agora, vamos calcular a distância de E(x, x/3) até B(15, 5) e igualar este valor a √10.
dEB = √[ (Xb-Xe)² + (Yb-Ye)²]
√10 = √[ (15-x)² + (5-x/3)²]
10 = (15-x)² + (5-x/3)²
10 = 225 - 30x + x² + 25 - (10x/3) + x²/9
10x²/9 - (100x/3) + 240 = 0 (vamos dividir todos por 10)
x²/9 - (10x/3) + 24 (vamos multiplicar todos por 9)
x² - 30x + 216 = 0
Obtendo as raízes dessa equação por meio da fórmula de Bhaskara, chegaremos em
x1 = 12 e x2 = 18
Entretanto, como o ponto E está sobre o segmento AB, temos que descartar x2 = 18.
Sendo assim,
E(x , x/3) = E(12 , 12/3) = E(12, 4)
Alternativa correta é a letra d).
Curiosidade: conforme comentado em questões anteriores, este tipo de problema pode ser resolvido usando a geometria plana por meio da semelhança de triângulos.
Note que os triângulos AEE' e ABB' são semelhantes. Deste modo, temos que
AB'/AE' = AB/AE = BB' / EE'
AB'/AE' = AB/AE
12/m = 4√10 / 3√10
12/m = 4/3
4m = 12 . 3
4m = 36
m = 9
AB/AE = BB' / EE'
4√10 / 3√10 = 4/n
4/3 = 4/n
n = 3
Note que as coordenadas de E são
E(3+m, 1+n)
E(3+9, 1+3)
E(12, 4)
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR.
Um forte abraço e bons estudos.
