(EsPCEx 2023) Um depósito de munições no formato retangular será construído em um campo de instrução do Exército Brasileiro.  A planta da construção prevê que esse retângulo esteja inscrito em uma área cujo formato é de um triângulo isósceles de base 24m e altura 16m.  A área máxima do depósito que atende  a essas condições é igual a :

a) 32 m²
b) 48 m²
c) 64 m²
d) 72 m²
e) 96 m²

Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023). Prova aplicada no dia 17/09/2023.

Para resolver essa questão, vamos considerar que o depósito de formato retangular possui dimensões x e y, de modo que a sua área (A) é dada pela fórmula:

A = x . y  (Equação I)

A seguir, vamos ilustrar o retângulo inscrito no triângulo isósceles e obter uma relação entre x e y.



Com essa ilustração, é possível observar que os triângulos ABC e ADE são semelhantes, logo, temos que

ED/CB = DA/BA  (Equação II)

Sabemos que ED = 16, CB = x, DA = 24/2 = 12, e BA vale

24-y
  2

(24/2) - (y/2)

12 - y/2

Vamos aplicar estes valores na Equação II.

16/x = 12/(12 - y/2)
16 . (12 - y/2) = 12 x
16.12 - 8y = 12x
Vamos dividir os dois membros por 8.
2.12 - y = (3/2)x
24 - (3/2)x = y
y = -(3/2)x + 24

Agora, vamos aplicar este valor para y na equação I.

A = x . y 
A = x . [-(3/2)x + 24]
A = -(3/2)x² + 24x

Estamos diante de uma parábola com concavidade voltada para baixo, isto porque o coeficiente a é negativo, logo, temos um ponto de máximo, que pode ser calculado utilizando as coordenadas do vértice da parábola (Xv,Yv).  A área máxima do retângulo é o valor de Yv, que pode ser calculado por meio da fórmula:

Yv = - (b² - 4ac)/4a

No caso: a = -(3/2) , b = 24 e c = 0.

Este valor de c = 0 vai tornar 4ac igual a 0, o que vai simplificar os cálculos:

Yv = - (24² - 0)  
           4(-3/2) 
Yv = - (24 . 24)  
           - 6
Yv = 4 . 24

Yv = 96 m²

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.