(UFPR 2023) Na figura ao lado, tem-se duas circunferências que se tangenciam no ponto Q. Os raios dessas circunferências são R1 e R2, com R1 < R2.  Cada uma das retas 𝒓 e 𝒔 é tangente simultaneamente às duas circunferências; adicionalmente, essas retas se intersectam no ponto 𝑷. Qual é a distância entre os pontos 𝑷 e 𝑸?



Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Federal do Paraná - UFPR 2023 . Prova aplicada no dia 23/10/2022.

Mais uma questão bem interessante de geometria plana da UFPR, a prova sempre contém questões de matemática bem inteligentes.  Primeiramente, podemos notar, nas alternativas de resposta, que a medida PQ está em termos de R1 e R2.  Para obtermos uma relação entre eles, vamos utilizar a semelhança de triângulos, vamos verificar isso na ilustração a seguir:



Podemos notar que os triângulos POO' e PII' são semelhantes.  Logo, temos que 

  II'   =   PI  
OO'       PO

II' = R2
OO' = R1
PI é igual ao segmento PQ + R2
PO é igual ao segmento PQ - R1

 R2  =  PQ + R2 
 R1       PQ - R1 

R2 (PQ - R1) = R1 (PQ + R2)
R2 . PQ - R2 . R1 = R1 . PQ + R1 . R2
R2 . PQ - R1 . PQ = R1 . R2 + R1 . R2
PQ (R2 - R1) = 2 . R1 . R2
PQ  =  2 . R1 . R2  
             (R2 - R1)

Alternativa correta é a letra e).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.