(UNICAMP 2025) A figura a seguir mostra um triângulo ABC que contém dois quadrados em seu interior.

figura do triângulo ABC

O segmento GH é lado de um dos quadrados e está contido no segmento AB. O segmento EF, contido no segmento AC, é lado do outro quadrado. Sabendo que AG mede 4 cm e que o lado GH do quadrado menor mede 3 cm, o comprimento do segmento EF é: 

a) 121/20. b) 111/20. c) 102/15. d) 98/15.

Solução: questão de matemática (geometria) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024.

Em primeiro lugar, vamos ilustrar a figura com os valores do enunciado e acrescentar dois ângulos complementares α e β, ou seja, α + β = 90°.  Fazendo isso, vamos perceber que existem triângulos semelhantes nessa figura.

figura do triângulo ABC - resolução

No triângulo retângulo ADG, os catetos medem 3 e 4, logo, pelo Teorema de Pitágoras, a hipotenusa AD = 5 cm.  Nosso objetivo é encontrar EF, que é igual a EJ.  Vamos encontrar EJ por meio da soma x + y conforme a ilustração feita acima.  

ADG é semelhante à DIE   

IE/DG = ID/DA
x/3 = 3/5
x = 3·(3/5)
x = 9/5

ADG é semelhante à IJH   

JI/DA = HI/GA
y/5 = 3/4
y = 5·(3/4)
y = 15/4

A soma x + y = (9/5) + (15/4) = (36+75)/20 = 111/20

Alternativa correta é a letra b).

Curiosidade: resolvendo essa questão usando razões trigonométricas para obter x e y.  

No triângulo retângulo ADG, podemos obter:

sen α = 3/5
cos α = 4/5

No triângulo retângulo DIE:

sen α = x/3
3/5 = x/3
x = 9/5

No triângulo retângulo IJH:

cos α = 3/y
4/5 = 3/y
4y = 15
y = 15/4

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.