(ESA 2023) Na figura, ∆𝐴𝐵𝐶 é um triângulo retângulo, Q é o ponto médio de 𝐴𝐵. 𝑄𝑃 é paralelo a 𝐵𝐶. Sendo 𝐴𝐶 = 30𝑐𝑚, qual é a medida de 𝑃𝑂?

A) 15 cm B) 5 cm C) 10 cm D) 7 cm E) 6 cm

Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022.

Nessa questão de geometria plana, vamos trabalhar bastante com semelhança de triângulos.  Sabendo que o ponto Q é o ponto médio de AB, então BQ = QA.  Vamos atribuir a estes dois segmentos iguais o valor de x e com isso atualizar a figura


Podemos notar que os triângulos AQP e ABC são semelhantes, sendo assim, temos que

AB = BC = AC
AQ    QP     AP

Vamos obter as medidas de CP e AP

AB =  AC
AQ     AP

2x  = 30
 x        AP

2. AP = 30
AP = 15

Sabemos que 
AP + CP = 30
15 + CP = 30
CP = 15

Agora, vamos atribuir a QP a medida de y e com isso vamos obter quanto vale BC

AB = BC 
AQ    QP 

2x = BC
  x       y

2 = BC
         y

BC = 2y

Vamos atualizar a figura com estas medidas.


Agora, podemos notar o seguinte:  AP vale 15 e é a hipotenusa do triângulo retângulo AQP com catetos de medidas x e y.  A mesma coisa acontece com BP que é a hipotenusa do triângulo retângulo BQP com catetos também de medidas x e y, logo, BP = AP = 15.  Vamos novamente atualizar a figura com essa informação.


Agora, vamos adicionar à figura os ângulos "a" e "b", que são ângulos complementares, ou seja, 
 a + b = 90°

Note que BP = AP e isso faz com que os ângulos em B e em A no triângulo ABP sejam iguais.  Vamos ilustrá-los com a medida "a".  A partir daí, vamos ilustrar também os ângulos "b" que complementam "a".


Finalmente, vamos ilustrar os dois ângulos "c", opostos pelo vértice em O.  Fazendo isso, vamos perceber automaticamente que os triângulos POQ e BOC são semelhantes.


Como POQ e BOC são semelhantes, então sabemos que

BO / PO = BC / PQ
BO / PO = 2y / y
BO / PO = 2
BO = 2 . PO

Sabemos que 
BO + PO = 15
2 . PO + PO = 15
3 . PO = 15
PO = 5 cm

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da ESA.

Um forte abraço e bons estudos.