(UECE 2021.1) Seja XYZ um triângulo retângulo em Y cuja medida do cateto XY é igual a 6 cm. Se a perpendicular a XZ que contém o ponto médio M do cateto XY intercepta XZ no ponto P, e se a medida do segmento PM é igual a 1,5 cm, então, a medida, em cm, do segmento MZ é igual a

a) √21.
b) (2/3)√21.
c) 2 √21.
d) √ 21  . 
          2

Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2021.1, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 20/06/2021.

Uma questão de geometria plana muito interessante, onde utilizaremos o Teorema de Pitágoras e a semelhança de triângulos.  Inicialmente, vamos ilustrar o triângulo retângulo XYZ com as informações do enunciado.

Note que os triângulos retângulos XYZ e XPM são triângulos semelhantes.  Escrevendo os ângulos α e β no triângulo retângulo XYZ, podemos perceber, no triângulo XPM, que ele possui os ângulos de 90° e α, sendo assim, obrigatoriamente o outro ângulo (em XMP) terá que valer β. 

Vamos agora obter a medida XP no triângulo retângulo XMP aplicando o Teorema de Pitágoras.

XP² + (1,5)² = 3²
XP² + (3/2)² = 9
XP² + 9/4 = 9
XP² = 9 - (9/4)
XP² = (36/4) - (9/4)
XP² = (36 - 9)/4
XP² = 27/4
XP = (3√3)/2

Agora, vamos ilustrar os dois triângulos retângulos: 




Como os dois triângulos são semelhantes, então temos que

XY / XP = YZ / PM
6 / [(3√3)/2] = YZ / (1,5)
12 / 3√3 = YZ / (3/2)
4 / √3 = (2.YZ) / 3
YZ = (3.4) / (2√3)
YZ = 6/√3  (por enquanto, guardamos assim)

Finalmente, nosso objetivo é calcular MZ, para isso, basta aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo MYZ.

MZ² = MY² + YZ²
MZ² = 3² + (6/√3)²
MZ² = 9 + 36/3
MZ² = 9 + 12
MZ² = 21
MZ = √21

Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.