(UFPR 2022) Na figura ao lado, considere os segmentos de reta AE e CD, e os triângulos retângulos ABC e BDE.  Suponha que o comprimento de AB é igual a x, e que o comprimento de AC é igual a y. Considerando que os segmentos AC e BD têm o mesmo comprimento, qual das alternativas abaixo corresponde ao valor do comprimento do segmento DE?


Solução: questão de matemática do Vestibular UFPR 2022, prova do dia 13/02/2022.

Uma questão bem interessante de geometria plana, onde precisamos notar a presença da semelhança de triângulos. Primeiramente, vamos identificar na figura as informações dadas e outras importantes que surgem a partir destas.

Perceba que os ângulos no ponto B, os quais chamamos de α, são ângulos iguais.  Além disso, cada triângulo tem um ângulo de 90°.  Sendo assim, o outro ângulo em cada triângulo, que chamamos de β, também serão iguais.  Ou seja, temos dois triângulos retângulos com os 3 ângulos internos iguais, logo, esses dois triângulos retângulos são figuras semelhantes.

Além disso, encontramos a medida de CB por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo ABC.

CB² + AC² = AB²
CB² + Y² = X²
CB² = X² - Y²
CB = √(X² - Y²)

Nosso objetivo é encontrar o valor de DE, que marcamos na figura como K.  Da semelhança de triângulos, sabemos que

DE/AC = BD/CB
K/Y = Y/√(X² - Y²)
K = Y²/√(X² - Y²)

Alternativa correta é a letra d).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UFPR.

Um forte abraço e bons estudos.