(UECE 2023.2) Uma função f : R → R definida por f(x) = mx + n, onde m e n são números reais não nulos, é comumente denominada de função linear afim. Quando n = 0 e m ≠ 0, a função será chamada de função linear não nula. O gráfico de tais funções, quando desenhado em um plano munido de um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, é uma reta.

(UECE 2023.2) Uma função f : R → R definida por f(x) = mx + n, onde m e n são números reais não nulos, é comumente denominada de função linear afim. Quando n = 0 e m ≠ 0, a função será chamada de função linear não nula. O gráfico de tais funções, quando desenhado em um plano munido de um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, é uma reta. Sejam f₁(x) = m₁x + p₁ e f₂(x) = m₂x + p₂ duas funções lineares afins distintas tais que a medida do ângulo que seus gráficos formam com o eixo das abscissas (eixo dos x) são múltiplos de 45° . Se os gráficos de f₁ e f₂ se cortam no ponto P = (5, 10), então, é correto afirmar que p₁ + p₂ é igual a 

A) 20. B) 5. C) 15. D) 10.

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Solução: questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.

Uma questão muito interessante de geometria analítica, onde podemos trabalhar também com alguns conceitos da geometria plana.

O objetivo da questão é encontrar o resultado da soma p₁ + p₂ , podemos notar que estes dois valores representam o ponto de encontro de cada reta com o eixo y.  Ou seja, p1 é a altura em que o gráfico de f1 intercepta o eixo y e p2 é a altura em que o gráfico de f2 intercepta o eixo y.

Para resolver essa questão, vamos ilustrar os gráficos de f₁ e f₂  no plano cartesiano, destacando alguns pontos importantes.

Perceba que a reta f1 forma um ângulo de 45° com o eixo x, além disso, sabemos que a distância entre os pontos P e E vale 10, então a distância entre os pontos A e E também tem que valer 10.  Isto ocorre porque no triângulo retângulo AEP, o valor da tangente de 45° que vale 1, é igual a PE sobre AE.

tg 45° = PE/AE

Sabemos que tg 45° = 1, logo , temos que

1 = PE/AE

AE = PE

Este mesmo raciocínio se aplica ao triângulo retângulo PEB, onde PE tem que ser igual a EB.  Percebendo isto, então o gráfico de f1 corta o eixo x no ponto A(-5,0) e o gráfico de f2 corta o eixo x no ponto B(15,0).

A partir de agora, os valores de p1 e p2 podem ser obtidos utilizando semelhança de triângulos.  Note que os triângulos APE e ACO são semelhantes, logo temos que

PE /CO = AE / AO

CO é igual a  p1 - 0 = p1

10 / p1 = 10 / 5

p1 = 5

Os triângulos BDO e BPE também são semelhantes, logo temos que

DO/PE = OB/EB

DO é igual a p2 - 0 = p2

p2/10 = 15/10

p2 = 15

E finalmente, a soma p1 + p2 = 5 + 15 = 20

Alternativa correta é a letra a).

Também é possível resolver essa questão utilizando apenas geometria analítica, perceba que os gráficos de f1 e f2 são:

f1 = (tg 45°) . x + p1
f1 = (1) . x + p1
f1 = x + p1

Sabemos que f1 passa pelo ponto P (5, 10), vamos aplicá-lo na f1

10 = 5 + p1
p1 = 10 - 5
p1 = 5

Agora, vamos obter o valor de p2

f2 = (tg 135°) . x + p2

tg 135° = - tg 45° = - 1 

f2 = (-1) . x + p2
f2 = -x + p2

E aplicando o ponto P(5 , 10) encontraremos também p2.

10 = -5 + p2
p2 = 10 + 5
p2 = 15

Note que desta maneira, encontramos os mesmos valores para p1 e p2.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.

Um forte abraço e bons estudos.