(UECE 2023.2) Uma função f : R
→
R definida por f(x) = mx + n, onde
m e n são números reais não nulos, é comumente
denominada de função linear afim. Quando n = 0 e m
≠
0, a
função será chamada de função linear não nula. O gráfico de
tais funções, quando desenhado em um plano munido de
um sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, é uma
reta. Sejam f1(x) = m1x + p1 e f2(x) = m2x + p2 duas funções
lineares afins distintas tais que a medida do ângulo que seus
gráficos formam com o eixo das abscissas (eixo dos x) são
múltiplos de 45° . Se os gráficos de f1 e f2 se cortam no ponto
P = (5, 10), então, é correto afirmar que p1 + p2 é igual a
A) 20.
B) 5.
C) 15.
D) 10.
Solução: questão de matemática do
Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2, prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023.
Uma questão muito interessante de geometria analítica, onde podemos trabalhar também com alguns conceitos da geometria plana.
O objetivo da questão é encontrar o resultado da soma p1 + p2 , podemos notar que estes dois valores representam o ponto de encontro de cada reta com o eixo y. Ou seja, p1 é a altura em que o gráfico de f1 intercepta o eixo y e p2 é a altura em que o gráfico de f2 intercepta o eixo y.
Para resolver essa questão, vamos ilustrar os gráficos de f1 e f2 no plano cartesiano, destacando alguns pontos importantes.
Perceba que a reta f1 forma um ângulo de 45° com o eixo x, além disso, sabemos que a distância entre os pontos P e E vale 10, então a distância entre os pontos A e E também tem que valer 10. Isto ocorre porque no triângulo retângulo AEP, o valor da tangente de 45° que vale 1, é igual a PE sobre AE.
tg 45° = PE/AE
Sabemos que tg 45° = 1, logo , temos que
1 = PE/AE
AE = PE
Este mesmo raciocínio se aplica ao triângulo retângulo PEB, onde PE tem que ser igual a EB. Percebendo isto, então o gráfico de f1 corta o eixo x no ponto A(-5,0) e o gráfico de f2 corta o eixo x no ponto B(15,0).
A partir de agora, os valores de p1 e p2 podem ser obtidos utilizando semelhança de triângulos. Note que os triângulos APE e ACO são semelhantes, logo temos que
PE /CO = AE / AO
CO é igual a p1 - 0 = p1
10 / p1 = 10 / 5
p1 = 5
Os triângulos BDO e BPE também são semelhantes, logo temos que
DO/PE = OB/EB
DO é igual a p2 - 0 = p2
p2/10 = 15/10
p2 = 15
E finalmente, a soma p1 + p2 = 5 + 15 = 20
Alternativa correta é a letra a).
Também é possível resolver essa questão utilizando apenas geometria analítica, perceba que os gráficos de f1 e f2 são:
f1 = (tg 45°) . x + p1
f1 = (1) . x + p1
f1 = x + p1
Sabemos que f1 passa pelo ponto P (5, 10), vamos aplicá-lo na f1
10 = 5 + p1
p1 = 10 - 5
p1 = 5
Agora, vamos obter o valor de p2
f2 = (tg 135°) . x + p2
tg 135° = - tg 45° = - 1
f2 = (-1) . x + p2
f2 = -x + p2
E aplicando o ponto P(5 , 10) encontraremos também p2.
10 = -5 + p2
p2 = 10 + 5
p2 = 15
Note que desta maneira, encontramos os mesmos valores para p1 e p2.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática do Vestibular da UECE.
Um forte abraço e bons estudos.