(UERJ 2019) No plano cartesiano, está representada a circunferência de centro P e raio 2.

O ponto Q da circunferência, que é o mais distante da origem, tem coordenadas iguais a:

a) (28/5 , 21/5)
b) (31/5 , 26/5)
c) (33/5 , 29/5)
d) (36/5 , 37/5)

Solução: questão de matemática do Vestibular UERJ 2019 (2º Exame de Qualificação), prova aplicada no dia 16/09/2018.

Podemos resolver essa questão utilizando semelhança de triângulos.  Na figura a seguir, ilustramos novos pontos e algumas medidas importantes:



A distância da origem até o centro P da circunferência vale 5, ela pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OBP, ou simplesmente visualizando que as medidas desse triângulo retângulo são 3,4 e 5.

Além disso, podemos notar que os triângulos OBP e ODQ são semelhantes, logo, temos que

QD = OD = OQ
PB      OB       OP  

OQ vale 7;
OP vale 5;
OB vale 4; 
PB vale 3;
QD é o yq que estamos buscando;
OD é o xq que estamos buscando.

Aplicando estes valores, temos que

yq = xq =  7 
 3        4       5  

xq = (7/5) . 4 = 28/5
yq = (7/5) . 3 = 21/5

Podemos concluir que o ponto Q da circunferência, que é o mais distante da origem, tem coordenadas iguais a (28/5 , 21/5).

Alternativa correta é a letra a).

Uma forma mais prática, depois que você se acostuma com os cálculos, é visualizar, por meio da semelhança de triângulos, que as medidas dos lados do triângulo ODQ são iguais às respectivas medidas dos lados de OBP multiplicadas por 7/5.  Logo, neste caso, as coordenadas Q(xq, yq) são iguais as coordenadas de P(4,3) multiplicadas por 7/5.

xq = (7/5) . 4 = 28/5
yq = (7/5) . 3 = 21/5

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UERJ.

Um forte abraço e bons estudos.