(FUVEST 2025)   Em relação ao plano cartesiano Oxy, é correto afirmar que as equações x ² + y ² – 4 x = –3   e    x ² + y ² – 4 y = –3 representam (A) duas circunferências com raios de mesma medida e que se interceptam em dois pontos. (B) duas circunferências com raios de medidas diferentes e que se interceptam em dois pontos. (C) duas circunferências que se interceptam em um único ponto. (D) duas circunferências concêntricas e que não se interceptam. (E) duas circunferências com centros distintos e que não se interceptam.  Solução:  questão da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2025 , aplicada em 17/11/2024. Em primeiro lugar, vamos obter as coordenadas dos centros e as medidas dos raios dessas duas circunferências. x² + y² – 4x = –3 x² – 4x + 4 + y² = –3 + 4 (x – 2)² + (y – 0)² = 1 Coordenadas do centro:  (2,0)  Raio da circunferência: R = √1 = 1 x² + y² – 4y = –3 x² + y² - 4y  + 4  = –3  + 4 (x...

(EEAR CFS 2/2024)  Para que o ponto A(3,1) seja externo à circunferência λ de equação x²  + y²  + 6x − 8y + m = 0 , m deve ser um número real pertencente ao intervalo ___________ . a) ]−20, 25[ b) ]−25, 20[ c) ]16, 30[ d) ]12, 29[  Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024 .  Prova aplicada em 19/11/2023. Vamos escrever a equação reduzida da circunferência λ. x²  + y²  + 6x - 8y + m = 0 x² + 6x + (6/2)² + y² - 8y + (8/2)² = -m + (6/2)² + (8/2)² x² + 6x + 9 + y² - 8y + 16  = -m + 9 + 16 (x + 3)² + (y - 4)² = 25 - m Centro de λ = (-3,4) Raio = √ 25 - m Sabemos que a medida do raio da circunferência é um valor real maior do que 0.  O raio não pode ser igual a 0 e também não pode ser um valor negativo. Raio > 0 √ 25 - m  > 0 25 - m > 0 -m > -25 m < 25 Um outro requisito da questão é garantir q...

(UERJ 2019)  No plano cartesiano, está representada a circunferência de centro P e raio 2. O ponto Q da circunferência, que é o mais distante da origem, tem coordenadas iguais a: a) (28/5 , 21/5) b) (31/5 , 26/5) c) (33/5 , 29/5) d) (36/5 , 37/5) Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2019 (2º Exame de Qualificação) , prova aplicada no dia 16/09/2018. Podemos resolver essa questão utilizando semelhança de triângulos.  Na figura a seguir, ilustramos novos pontos e algumas medidas importantes: A distância da origem até o centro P da circunferência vale 5, ela pode ser obtida aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OBP, ou simplesmente visualizando que as medidas desse triângulo retângulo são 3,4 e 5. Além disso, podemos notar que os triângulos OBP e ODQ são semelhantes, logo, temos que QD = OD = OQ PB     OB    OP   OQ vale 7; OP vale 5; OB vale 4;  PB vale 3; QD é o yq que estamos buscand...

(Escola de Aprendizes-Marinheiros 2023)  Considere as equações  x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0,  x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0  e   x² - 4x - 4y + 8 = 0 ,  com (x,y) ∈ ℝ².  Analise e assinale a opção que apresenta, respectivamente, as representações geométricas das equações. a) Hipérbole, elipse, parábola. b) Hipérbole, circunferência, reta. c) Hipérbole, circunferência, parábola. d) Elipse, circunferência, parábola. e) Elipse, circunferência, reta. Solução:  questão de matemática do Concurso Público de Admissão às Escolas de Aprendizes-Marinheiros/CPAEAM/2023,  prova do dia 02/04/2023. Analisando cada equação, temos que: 1) x² - 9y² - 6x - 18y - 9 = 0 De acordo com as alternativas de resposta, a primeira equação só pode ser hipérbole ou elipse.  Note que os sinais trocados dos coeficientes que multiplicam x² e y² nos indicam que não será elipse, então só pode ser hipérbole.  Vamos obter a equação dessa hipérbole para co...

(FUVEST 2023)   Considere a região do plano cartesiano A = { (x , y) ∈ ℝ² : |x| + |y| ≤ 1 }  esboçada na figura. Dado  B = { (x , y) ∈ ℝ² : (x + 1)² + y²  ≥ 1  } , a área da região  A ∩ B  é: a) 2 -  π/4 b)  2 -  π/2 c)  4 +  π/2 d)  4 -  π/4 e) 2 + π/2 Solução:  questão de matemática da  FUVEST 2023,  prova aplicada no dia 04/12/2022. Uma questão muito rica e interessante envolvendo conceitos da geometria plana e da geometria analítica.  Vamos resolvê-la passo a passo de forma ilustrada: Em primeiro lugar, vamos esboçar a região B = { (x , y) ∈ ℝ² : (x + 1)² + y²  ≥ 1  } Iniciando por  (x + 1)² + y²  ≥ 1 , vamos trabalhar, num primeiro momento, apenas com (x + 1)² + y²  = 1 A equação acima representa uma circunferência com centro em (-1,0) e raio igual a 1. Relembrando a equação reduzida da circunferência (x - xc)² + (y ...

(EEAR CFS 2/2023)  Seja uma circunferência que passa pelo ponto de encontro das retas de equações (r) x + y − 6 = 0 e (s) x − y − 2 = 0. Se a equação reduzida dessa circunferência é (x − 1)² + (y + 2)² = k, então k é igual a _____.  a) 30 b) 28 c) 25 d) 12 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. Em primeiro lugar, vamos obter o ponto de encontro das retas. x + y − 6 = 0 x − y − 2 = 0 Podemos fazer isso isolando o y nas duas equações e depois igualando - as.  Entretanto, vamos simplesmente somar as duas equações do primeiro grau. x  + (x)  + y  +  (-y )  − 6  +  (-2 )  = 0   +  (0 ) 2x -8 = 0 2x = 8 x = 4 Agora, vamos aplicar este valor de x em qualquer uma das duas equações para obter y.  Vamos escolher a primeira. 4 + y - 6 = 0 -2 = -y y = 2 Ou seja, a circunferência passa pelo ponto (4,2), en...

( ESA 2023 )  Em uma determinada aula de Geometria Analítica, uma candidata do Concurso da ESA, da área da saúde, deparou-se com a seguinte situação 𝑥² + 𝑦² = 2𝑥 + 2𝑦 − 1. Ao desenvolver essa igualdade a estudante obteve:  A) Uma circunferência centrada na origem. B) Uma circunferência de centro -1 e -1 e raio 2. C) Uma circunferência de centro -1 e -1 e raio √2. D) Uma circunferência de centro 1 e 1 e raio 1. E) Nenhuma das alternativas anteriores. Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. x² + y² = 2x + 2y - 1 x² - 2x   + y² - 2y   = -1 x² - 2x + 1  + y² - 2y + 1  = -1   + 1   + 1 Repare que completamos os quadrados adicionando  + 1  e  + 1  do lado esquerdo da igualdade e, para manter essa igualdade, precisamos adicionar do lado direito também...

(CEDERJ 2022.2)  A área da coroa circular definida pelas circunferências  x² + y² - 2√2 x + 2√3 y = 0 e  x² + y² - 2√2 x + 2√3 y = 2  é igual a a) π. b) 2π. c) 3π. d) 4π. Solução:  questão de matemática do Vestibular  CEDERJ 2022.2,   prova aplicada no dia 12/06/2022. Seja (x - xc)² + (y - yc)² = raio² a equação reduzida da circunferência.  Podemos observar que as duas equações do enunciado estão no formato de equação geral da circunferência.  O que nós vamos fazer é escrever ambas no formato de equação reduzida, fazendo isso, vamos descobrir quanto vale o raio de cada circunferência.  Vamos usar a técnica de completar quadrados. >>>  1ª Circunferência x² + y² - 2√2 x + 2√3 y = 0 x² - 2√2 x + (√2)² + y² + 2√3 y + (√3)² = 0 +  (√2)² +  (√3)² (x - √2)² + (y + √3)² = 2 + 3 ( x - √2)² + (y + √3)² = 5 Raio = √5 >>>  2ª Circunferência x² + y² - 2√2 x + 2√3 y = 2 x² - 2√2 x  + (√2)² ...

(UECE 2022.1)  Na cidade de Itaí, a rádio FM tem um alcance radial de até 104 km. Se considerarmos a região como um plano munido do sistema usual de coordenadas cartesianas e se a rádio estiver localizada no ponto (1, 1), então, o conjunto dos pontos P = (x, y) onde o sinal do rádio pode ser captado é dado pela equação  A) x 2 + y 2 – 2x – 2y – 10814 ≤ 0. B) x 2 + y 2 – 2x – 2y – 10814 = 0. C) x 2 + y 2 – 2x – 2y – 10812 ≤ 0. D) x 2 + y 2 – 2x + 2y – 10814 < 0. Solução:  questão de matemática (geometria analítica) do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2022.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 15/11/2021. Perceba que o enunciado nos informou as coordenadas do centro da circunferência (xc,yc) = (1,1) e o valor do raio (R = 104), sendo assim, a equação reduzida da circunferência é (x - xc)² + (y-yc)² = R²  (x-1)² + (y-1)² = 104²   (Equação I) O objetivo da questão é encontrar o conjunto dos pontos P...

(FAMEMA 2022) A reta de equação x + 2y  + 1 = 0 determina na circunferência ( x - 4)² + y² = 21 uma corda de comprimento igual a  (A) 8. (B) 7. (C) 6√3. (D) 6√2. (E) 4√5. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Faculdade de Medicina de Marília, ano: 2022, banca examinadora: FGV.  Prova aplicada no dia 05/12/2021. Inicialmente, repare que a a circunferência está no formato de equação reduzida da circunferência: (x-xc)² + (y-yc)² = R² ( x - 4)² + (y-0)² = (√21)² Então, sabemos que a circunferência tem centro no ponto C(4,0) e raio R igual a √21. Agora, vamos esboçar a circunferência e a reta para elaborarmos uma estratégia de resolução para essa questão de geometria analítica. Perceba que nosso objetivo é calcular o comprimento da corda EG. Essa corda está dividida em dois comprimentos iguais a K, são eles EF e FG, exatamente porque traçamos desde o centro C até o ponto F um segmento de reta perpendicular a corda EG.  Toda vez que o diâmetro cruza um...

(EEAR CFS 2/2022) Um alvo foi colocado em um plano cartesiano, como mostra a figura. As circunferências do alvo têm equações x² + y² = 5² , x² + y² = 15² e x² + y² = 25² . Tiros que acertam no menor círculo valem 100 pontos, os que acertam entre a circunferência média e a menor valem 50 pontos e os que acertam entre a circunferência maior e a média valem 20 pontos. Se Natália atirou 3 vezes e acertou nos pontos (−6, −8), (−3, 2) e (2, 11), ela fez ____ pontos. a) 90 b) 120 c) 170 d) 200 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. Questão muito interessante de geometria analítica que envolve circunferências.  Repare que as três circunferências são concêntricas, todas estão centradas na origem e seus raios valem 5, 15 e 25.   O que precisamos fazer é verificar qual a distância entre cada um dos pontos dados até a origem, verificar a quais áreas do gráfico...

(ESA 2022) Qual é a posição do ponto P (5 , 3) em relação à circunferência de centro C (3 , 1) e raio igual a 5 unidades?  A) Externo. B) Interno, não coincidente com o centro. C) Pertence à circunferência. D) Coincidente com o centro. E) Excêntrico. Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021. Para resolver essa questão de geometria analítica, referente a posição de um ponto em relação a uma circunferência,  precisamos calcular a distância do ponto P(5,3) até o centro C(3,1) da circunferência e avaliar se ele é maior, igual ou menor que o raio cuja medida é de 5 unidades.   Se a distância de P até o centro da circunferência é menor do que o raio da mesma, então este ponto P é interno à circunferência. Se a distância de P até o centro da circunferência é igual ao raio da mesma, então este ponto P é pertence...

(EEAR CFS 1/2022) O ponto P(1, 4) é _______________ à circunferência de equação (x + 1)² + (y − 5)² = 9 e é _______________ à circunferência de equação (x − 3)² + (y − 5)² = 16. a) exterior; exterior b) exterior; interior c) interior; exterior d) interior; interior Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 1/2022. Prova aplicada no dia 30/05/2021. Nesta questão de geometria analítica, referente a posição relativa entre ponto e circunferência , temos que analisar a distância entre dois pontos no plano cartesiano.  Precisamos verificar se a distância de P até o centro de cada circunferência é maior, menor ou igual ao comprimento dos respectivos raios.   Se a distância de P até o centro da circunferência é menor do que o raio da mesma, então este ponto P é interior à circunferência. Se a distância de P até o centro da circunferência é igual ao raio da mesma, então este ponto P é pertencente à circun...

(EsPCEx 2021) A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) e é tangente à reta de equação y=(3/4)x+2 tem equação dada por  [A] x 2 + y 2  −2 x + 2 y − 7 = 0. [B] x 2 + y 2  −2 x −2 y − 7 = 0. [C] x 2 + y 2 + 2 x + 2 y + 7 = 0. [D] x 2 + y 2 −2 x − 2 y + 7 = 0. [E] x 2 + y 2  −2 x + 2 y = 0. Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021. Uma questão bem interessante de geometria analítica . Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência, temos que: (x-1)² + (y+1)² = R² Vamos obter este raio (R) aplicando y=(3/4)x+2 nesta equação e fazendo Δ = 0 ( uma vez que a circunferência e a reta só se cruzam uma única vez, exatamente no ponto de tangência) (x-1)² + [ (3/4)x+2 +1]² = R² (x-1)² + [ (3/4)x+3]² = R² x² - 2x + 1 + (9/16).x²  + (18/4).x  + 9 - R² = 0 (25/16) . x² + (5/2) . x + (10-R²) = 0 a = 25/16  ;...

(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) Considere as circunferências C1 : x² – 4y + 2x + y² – 4 = 0 e C2 : x² – 6x + y² = – 5. Essas circunferências, em relação à posição relativa entre si, são:  A) concêntricas B) tangentes C) coincidentes D) secantes E) paralelas Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014. Vamos escrever C1 e C2 no formato de equação reduzida da circunferência. C1 : x² – 4y + 2x + y² – 4 = 0  x² + 2x   +1  + y² - 4y + 4   = 4 + 1 + 4 (x+1)² + (y-2)² = 3² Centro 1 (-1, +2) e R1 = 3 C2 : x² – 6x + y² = – 5 x² - 6x + 9 + (y - 0)² = -5 + 9 (x -3)² + (y-0)² = 2² Centro 2 (3,0) e R2 = 2 Até aqui, já podemos notar que elas não são concêntricas, pois seus centros são diferentes.  Além disso, duas circunferências são coincidentes quando seus centros são iguais e possuem o raio com mesma medida, fato que não acontece en...

(Professor Docente I - Matemática - SEEDUC-RJ - 2015 - Banca CEPERJ) Seja α uma circunferência cuja equação é (x – 1)² + (y + 5)² = 2. A equação da circunferência que é simétrica a α em relação ao eixo das ordenadas é: A) x² + y² – 2x – 10y – 24 = 0 B) x² + y² + 2x + 10y + 24 = 0 C) x² + y² + 2x – 10y – 24 = 0 D) x² + y² – 10x + 2y – 24 = 0 E) x² + y² – 10x + 2y + 24 = 0 Solução:   questão de geometria analítica do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2015. Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência, então α tem centro no ponto (1,-5) e possui raio igual a √2. A equação α', que é simétrica a α em relação ao eixo das ordenadas, tem centro em (-1,-5) e raio igual a √2. Sendo assim, α' terá equação reduzida igual a:  (x+1)² + (y+5)² = 2 Vamos desenvolvê-la para chegarmos à sua equação geral. x² + 2x + 1 + y² + 10y + 25 - 2 = 0 x² + y² + 2x + 10y  + 24 = 0 Alter...

(IME 2021) No que diz respeito a posição relativa das circunferências representadas pelas equações  x² + y² − 6x − 8y = 11  x² + y² − 8x + 4y = −16 pode-se afirmar que elas são: (A) exteriores. (B) tangentes exteriores. (C) tangentes interiores. (D) concêntricas.  (E) secantes. Solução:  questão de geometria analítica do IME  (Instituto Militar de Engenharia) que aborda o conceito de posição relativa entre circunferências.  Vamos colocar as equações das duas circunferências no formato da equação reduzida da circunferência. Fazendo isso, vamos obter as coordenadas do centro de cada circunferência e seus raios.  Em seguida, vamos também calcular a distância entre os centros das duas circunferências e comparar com as medidas de seus raios. Curiosidade: esta questão do IME do exame de 2020/2021 tem características semelhantes a uma questão da UFPR 2020 sobre circunferências tangentes , que vale a pena resolvê-la também. >> Equação 1:...

(UFPR 2020) Considere a circunferência B, cuja equação no plano cartesiano é 𝒙² + 𝒚² − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 + 𝟐𝟏 = 𝟎. Qual das equações abaixo descreve uma circunferência que tangencia B?  a) (𝑥 + 1)² + (𝑦 − 2)² = 15. b) (𝑥 + 2)² + (𝑦 + 2)² = 5. c) (𝑥 − 3)² + (𝑦 − 1)² = 3 d) (𝑥 − 7)² + (𝑦 − 2)² = 10. e) (𝑥 + 3)² + (𝑦 + 2)² = 9. Solução:  questão de geometria analítica muito interessante do Vestibular da UFPR 2020 sobre cônicas - circunferências.  Duas circunferências se tangenciam de duas formas possíveis.  Veja na figura a seguir: Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência. Primeiramente vamos obter o centro da circunferência B. x² - 8 x  + (8/2)²   + y² + 10 y + (10/2)²     =  -21   + (8/2)²      + (10/2)² x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = -21 + 16 + 25 (x-4)² + (y+5)² = 20 C = (4,-5) e R = √20  ≅ 4,5 Precisamos do centro e raio de todas as opções de reposta. a) C=(...

(FUVEST 2021) A região hachurada do plano cartesiano xOy contida no círculo de centro na origem O e raio 1, mostrada na figura, pode ser descrita por a) {(x,y); x² + y²  ≤ 1  e  y - x ≤ 1}. b) {(x,y); x² + y²  ≥ 1  e  y + x ≥ 1}. c) {(x,y); x² + y²  ≤ 1  e  y - x ≥ 1}. d) {(x,y); x² + y²  ≤ 1  e  y + x ≥ 1}. e) {(x,y); x² + y²  ≥ 1  e  y + x ≤ 1}. Note e adote: O círculo de centro O e raio 1 é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância de 0 menor do que ou igual a 1. Solução:  nesta questão de geometria analítica, nós temos a limitação de uma área que é dada por uma equação de circunferência e uma equação de reta. Equação da circunferência:   (x-0)² + (y-0)² = 1² x² + y² = 1 Equação da reta: Repare que a reta passa pelos pontos (-1,0) e (0,1).  O coeficiente angular dessa reta é exatamente 1 e o ponto onde ela t...

(UNICAMP 2018) No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se a) 𝑟 > 2.   b) 𝑟 > √5.   c) 𝑟 > 3.   d) 𝑟 > √10 Solução: nesta questão de geometria analítica, precisamos ter em mente que para a equação da circunferência interceptar a reta em dois pontos distintos, ao igualarmos as equações, precisamos ter Δ>0.  Para que haja interceptação em um único ponto Δ = 0. E, para que não haja cruzamento entre elas, então Δ<0. Estamos interessados no caso onde Δ>0, ou seja, a reta s intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos. A equação de C é dada por:  (x - xC)² + (y - yC)² = R² (x - 0)² + (y - 0)² = R² x²  + y² = R² E a equação da reta é 𝑥 = 10 - 3y   (aplicando x na equação de C) (10-3y)²  + y² = R² 100 - 60y + 9y² + y² - R²...