(EsPCEx 2021) A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) e é tangente à reta de equação y=(3/4)x+2 tem equação dada por

(EsPCEx 2021) A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) e é tangente à reta de equação y=(3/4)x+2 tem equação dada por 

[A] x² + y² −2 x + 2 y − 7 = 0.
[B] x² + y² −2 x −2 y − 7 = 0.
[C] x² + y² + 2 x + 2 y + 7 = 0.
[D] x² + y² −2 x − 2 y + 7 = 0.
[E] x² + y ² −2 x + 2 y = 0.

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Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Uma questão bem interessante de geometria analítica. Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência, temos que:

(x-1)² + (y+1)² = R²

Vamos obter este raio (R) aplicando y=(3/4)x+2 nesta equação e fazendo Δ = 0 ( uma vez que a circunferência e a reta só se cruzam uma única vez, exatamente no ponto de tangência)

(x-1)² + [ (3/4)x+2 +1]² = R²

(x-1)² + [ (3/4)x+3]² = R²

x² - 2x + 1 + (9/16).x²  + (18/4).x  + 9 - R² = 0

(25/16) . x² + (5/2) . x + (10-R²) = 0

a = 25/16  ;  b = 5/2   ;  c = 10 - R²

Forçando Δ = 0 

Δ = b² - 4.a.c =  0 

25/4 - 4 . (25/16) . (10 - R²) = 0

25/4 - 25/4 . (10-R²) = 0

25/4 . (10-R²) = 25/4

10 - R² = 1

R² = 9

R = 3

Um outro método para encontrar R = 3 é utilizando a fórmula da distância entre ponto e reta. Como a reta y=(3/4)x+2 tangencia a circunferência, então a distância do centro da circunferência (1, -1) até esta reta será igual ao raio.   Re-escrevendo:   y=(3/4)x+2 (3/4)x - y + 2  = 0  A fórmula da distância (d) de um ponto P (xo , yo) até a reta a.x + b.y + c = 0 d = | a . xo + b . yo + c  |              √(a² + b²)      d = |(3/4).1 -1.(-1) + 2|              √[(3/4)² + (-1)²)]    d = |(3/4) +1 + 2|        √[(9/16) + 1)]    d = |15/4|        √(25/16) d = (15/4)           (5/4) d = (15/4) x (4/5) d =  15/5 d = 3    Encontramos que a distância do centro da circunferência até à reta vale 3 que é igual ao valor do raio, ou seja, R=3.

Finalmente, basta aplicar este valor (R=3) na equação reduzida da circunferência e chegar até a equação geral da circunferência:

(x-1)² + (y+1)² = R²

x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3²

x² + y² - 2x + 2y + 2 - 9 = 0

x² + y² - 2x + 2y - 7 = 0

 
Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.