(EsPCEx 2021) A circunferência que tem seu centro no ponto (1 ,−1) e é tangente à reta de equação y=(3/4)x+2 tem equação dada por 

[A] x2 + y−2 x + 2 y − 7 = 0.
[B] x2 + y−2 x −2 y − 7 = 0.
[C] x2 + y2 + 2 x + 2 y + 7 = 0.
[D] x2 + y2 −2 x − 2 y + 7 = 0.
[E] x2 + y −2 x + 2 y = 0.


Solução: questão de matemática da EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército – 2021). Prova aplicada no dia 26/09/2021.

Uma questão bem interessante de geometria analítica. Seja (x-xc)² + (y-yc)² = R² a equação reduzida da circunferência, temos que:

(x-1)² + (y+1)² = R²

Vamos obter este raio (R) aplicando y=(3/4)x+2 nesta equação e fazendo Δ = 0 ( uma vez que a circunferência e a reta só se cruzam uma única vez, exatamente no ponto de tangência)

(x-1)² + [ (3/4)x+2 +1]² = R²
(x-1)² + [ (3/4)x+3]² = R²
x² - 2x + 1 + (9/16).x²  + (18/4).x  + 9 - R² = 0
(25/16) . x² + (5/2) . x + (10-R²) = 0
a = 25/16  ;  b = 5/2   ;  c = 10 - R²

Forçando Δ = 0 

Δ = b² - 4.a.c =  0 
25/4 - 4 . (25/16) . (10 - R²) = 0
25/4 - 25/4 . (10-R²) = 0
25/4 . (10-R²) = 25/4
10 - R² = 1
R² = 9
R = 3

Finalmente, basta aplicar este valor (R=3) na equação reduzida da circunferência e chegar até a equação geral da circunferência:

(x-1)² + (y+1)² = R²
x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3²
x² + y² - 2x + 2y + 2 - 9 = 0
x² + y² - 2x + 2y - 7 = 0
 
Alternativa correta é a letra a).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EsPCEx.

Um forte abraço e bons estudos.