(EEAR CFS 2/2024) Para que o ponto A(3,1) seja externo à circunferência λ de equação x²  + y²  + 6x − 8y + m = 0, m deve ser um número real pertencente ao intervalo ___________ .

a) ]−20, 25[

b) ]−25, 20[

c) ]16, 30[

d) ]12, 29[ 

Solução: questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas de Aeronáutica) do Exame de Admissão ao Curso de Formação de Sargentos da Aeronáutica CFS 2/2024.  Prova aplicada em 19/11/2023.

Vamos escrever a equação reduzida da circunferência λ.

x²  + y²  + 6x - 8y + m = 0
x² + 6x + (6/2)² + y² - 8y + (8/2)² = -m + (6/2)² + (8/2)²
x² + 6x + 9 + y² - 8y + 16  = -m + 9 + 16
(x + 3)² + (y - 4)² = 25 - m

Centro de λ = (-3,4)
Raio = √25 - m

Sabemos que a medida do raio da circunferência é um valor real maior do que 0.  O raio não pode ser igual a 0 e também não pode ser um valor negativo.

Raio > 0
√25 - m > 0
25 - m > 0
-m > -25
m < 25

Um outro requisito da questão é garantir que o ponto A(3,1) seja externo à circunferência λ.  Já sabemos que a circunferência está centrada em  C(-3,4), então, precisamos que a distância d do ponto A até o ponto C seja maior do que o raio.

d > √25 - m

Vamos calcular d separadamente utilizando a fórmula da geometria analítica para calcular a distância entre dois pontos de coordenadas (x1,y1) e (x2,y2) que é dada por: √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]

d = √(-3-3)² + (4-1)²
d = √36 + 9
d = √45

Agora, vamos resolver

√45 > √25 - m
45 > 25 - m
m > -20

Além disso, 

25 - m ≥ 0
m ≤ 25

Combinando esses intervalos, temos -20 < m ≤ 25

Finalmente, precisamos que m < 25 e também -20 < m ≤ 25, então m deve ser um número real pertencente ao intervalo -20 < m < 25.

Alternativa correta é a letra a) ]−20, 25[

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões anteriores da EEAR. 

Um forte abraço e bons estudos.