(FUVEST 2021) A região hachurada do plano cartesiano xOy contida no círculo de centro na origem O e raio 1, mostrada na figura, pode ser descrita por

a) {(x,y); x² + y²  ≤ 1  e  y - x ≤ 1}.
b) {(x,y); x² + y²  ≥ 1  e  y + x ≥ 1}.
c) {(x,y); x² + y²  ≤ 1  e  y - x ≥ 1}.
d) {(x,y); x² + y²  ≤ 1  e  y + x ≥ 1}.
e) {(x,y); x² + y²  ≥ 1  e  y + x ≤ 1}.



Note e adote:

O círculo de centro O e raio 1 é o conjunto de todos os pontos do plano que estão a uma distância de 0 menor do que ou igual a 1.


Solução:  nesta questão de geometria analítica, nós temos a limitação de uma área que é dada por uma equação de circunferência e uma equação de reta.

Equação da circunferência:  
(x-0)² + (y-0)² = 1²
x² + y² = 1

Equação da reta:
Repare que a reta passa pelos pontos (-1,0) e (0,1).  O coeficiente angular dessa reta é exatamente 1 e o ponto onde ela toca o eixo y também vale 1.  Logo, a equação da reta é:
y = x + 1

Nosso objetivo é pegar o que está abaixo dessa equação de circunferência e o que está acima da equação de reta.

x² + y² ≤ 1    e    y ≥ x+1   ajustando  y-x ≥ 1

Finalmente queremos   x² + y² ≤ 1   e   y-x ≥ 1.  Alternativa correta é a letra C.


Curiosidade: o ponto (10,10) faz parte dessa região?  Não, pois nem chega a atender o primeiro critério 10² + 10² = 200 que não é menor nem igual a 1.  Já o ponto  (-0,8 ; 0,5) faz parte, pois:

(-0,8)² + (0,5)² = 0,64 + 0,25 = 0,89 que é menor ou igual a 1.  Atendeu o 1º critério.

0,5 - (-0,8) = 0,5 + 0,8 = 1,3 que é maior ou igual a 1.  Atendeu o 2º critério.

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Um forte abraço e bons estudos.