(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) Considere as circunferências C1 : x² – 4y + 2x + y² – 4 = 0 e C2 : x² – 6x + y² = – 5. Essas circunferências, em relação à posição relativa entre si, são: 

A) concêntricas B) tangentes C) coincidentes D) secantes E) paralelas

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014.

Vamos escrever C1 e C2 no formato de equação reduzida da circunferência.

C1 : x² – 4y + 2x + y² – 4 = 0 
x² + 2x  +1 + y² - 4y + 4  = 4 + 1 + 4
(x+1)² + (y-2)² = 3²
Centro1 (-1, +2) e R1 = 3

C2 : x² – 6x + y² = – 5
x² - 6x + 9 + (y - 0)² = -5 + 9
(x -3)² + (y-0)² = 2²
Centro2 (3,0) e R2 = 2

Até aqui, já podemos notar que elas não são concêntricas, pois seus centros são diferentes.  Além disso, duas circunferências são coincidentes quando seus centros são iguais e possuem o raio com mesma medida, fato que não acontece entre elas.

Agora, vamos calcular a distância entre os dois centros, vamos denotá-la por D.

A fórmula da distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é dada por:  √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]
 
D = √[ (3-(-1))² + (0-2)² ]
D = √[ (3+1)² + (-2)² ]
D = √[ (4)² + 4 ]
D = √[ 16 + 4 ]
D =  √ 20 
Sabemos que   √ 16 = 4   e  que √ 25 = 5   , então a distância D entre os dois centros é um valor compreendido entre 4 e 5.

A soma (R1 + R2) = 3 + 2 = 5
A diferença (R1 - R2) = 3 - 2 = 1

Podemos notar que:  

(R1 - R2) < D < (R1 + R2)
1 < √ 20 < 5
   
Logo, as duas circunferências são secantes. 

Alternativa correta é a letra d).

Confira uma questão similar a esta da prova do IME 2021 sobre posição relativa das circunferências.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos de geometria analítica.

Um forte abraço e bons estudos.