(Professor Docente I - Matemática - 2014 - Banca CEPERJ) Considere as circunferências C1 : x² – 4y + 2x + y² – 4 = 0 e C2 : x² – 6x + y² = – 5. Essas circunferências, em relação à posição relativa entre si, são: 

A) concêntricas B) tangentes C) coincidentes D) secantes E) paralelas

Solução: questão do concurso para professor de matemática da Secretaria de Educação do Rio de Janeiro.  Banca organizadora CEPERJ, 2014.  Para quem se prepara para concurso de professor de matemática do Estado do Rio de Janeiro, atenção às questões de geometria analítica que envolvem circunferências, pois são muito comuns nas provas da banca CEPERJ.

Vamos escrever C1 e C2 no formato: equação reduzida da circunferência.

C1 : x² – 4y + 2x + y² – 4 = 0 
x² + 2x  +1 + y² - 4y + 4  = 4 + 1 + 4
(x+1)² + (y-2)² = 3²
Centro (-1, +2) e raio = 3

C2 : x² – 6x + y² = – 5
x² - 6x + 9 + (y - 0)² = -5 + 9
(x -3)² + (y-0)² = 2²
Centro (3,0) e raio = 2

Agora, calculamos a distância entre os dois centros.

A fórmula da distância entre dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) é dada por:  √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]
 
 √[ (3-(-1))² + (0-2)² ]
 √[ (3+1)² + (-2)² ]
 √[ (4)² + 4 ]
 √[ 16 + 4 ]
 √ 20 
Sabemos que   √ 16 = 4   e  que √ 25 = 5   , então: 4 < √ 20 < 5.

A soma dos raios das duas circunferências vale 3 + 2 = 5. Isto quer dizer que: 
distância entre os centros  <  (R1 + R2)

Deste modo, elas são circunferências secantes.  Alternativa correta é a letra d).

Confira uma questão similar a esta da prova do IME 2021 sobre posição relativa das circunferências.

Aproveite e continue praticando com uma lista de exercícios resolvidos de geometria analítica.

Um forte abraço e bons estudos.