(IME 2021) No que diz respeito a posição relativa das circunferências representadas pelas equações 

x² + y² − 6x − 8y = 11 

x² + y² − 8x + 4y = −16

pode-se afirmar que elas são:

(A) exteriores. (B) tangentes exteriores. (C) tangentes interiores. (D) concêntricas.  (E) secantes.

Solução:  questão de geometria analítica do IME  (Instituto Militar de Engenharia) que aborda o conceito de posição relativa entre circunferências.  Vamos colocar as equações das duas circunferências no formato da equação reduzida da circunferência. Fazendo isso, vamos obter as coordenadas do centro de cada circunferência e seus raios.  Em seguida, vamos também calcular a distância entre os centros das duas circunferências e comparar com as medidas de seus raios.

Curiosidade: esta questão do IME do exame de 2020/2021, tem características semelhantes a uma questão da UFPR 2020 sobre circunferências tangentes.  Recomendo resolver depois a questão do Vestibular da UFPR como treinamento.

>> Equação 1:   x² + y² − 6x − 8y = 11 

x² - 6x + 3²  + y² - 8y + 4²  = 11 + 3² + 4²
(x - 3)² + (y-4)² = 36 = 6²

C1 = (3, 4) e R1 = 6

>> Equação 2:   x² + y² − 8x + 4y = −16

x² - 8x + 4²  + y²  + 4y + 2²  = -16 + 16 + 4
(x - 4)² + (y+2)² = 4 = 2²

C2 = (4, -2) e R2 = 2

Repare que elas não são concêntricas, e assim, podemos eliminar a opção d).

Distância C1→C2 = √ [ (4-3)² + (-2-4)² ] = √37 ≅ 6,1.

Repare que:  Distância C1→C2  <  (R1 + R2).   Logo, as duas circunferências são secantes. Alternativa correta é a letra E.

Curiosidade:  Veja a seguir as condições necessárias para cada opção de resposta.

(A) exteriores.          Distância C1→C2  >  (R1 + R2)

(B) tangentes exteriores.   Distância C1→C2  =  (R1 + R2)

(C) tangentes interiores.     Distância C1→C2  =  (R1 - R2)   ; onde R1 é o raio da maior.

(D) concêntricas.  Coordenadas dos centros são iguais.

(E) secantes.  Distância C1→C2  <  (R1 + R2)

Aproveite e continue praticando com uma Lista de Exercícios de Geometria Analítica com Questões de Vestibulares e Concursos.

Um forte abraço e bons estudos.