(UNICAMP 2018) No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se
(UNICAMP 2018) No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se
a) 𝑟 > 2. b) 𝑟 > √5. c) 𝑟 > 3. d) 𝑟 > √10
Solução: nesta questão de geometria analítica, precisamos ter em mente que para a equação da circunferência interceptar a reta em dois pontos distintos, ao igualarmos as equações, precisamos ter Δ>0. Para que haja interceptação em um único ponto Δ = 0. E, para que não haja cruzamento entre elas, então Δ<0.Estamos interessados no caso onde Δ>0, ou seja, a reta s intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos.
A equação de C é dada por:
(x - xC)² + (y - yC)² = R²
(x - 0)² + (y - 0)² = R²
x² + y² = R²
E a equação da reta é 𝑥 = 10 - 3y (aplicando x na equação de C)
(10-3y)² + y² = R²
100 - 60y + 9y² + y² - R² = 0
10y² - 60y + 100 - R² = 0 (vamos dividir todos os coeficientes por 10)
y² - 6y + 10 - R²/10 = 0
Agora, basta forçar Δ>0
(-6)² - 4 . (1) . ( 10 - R²/10 ) > 0
36 - 4 ( 10 - R²/10 ) > 0
36 - 40 + 2R²/5 > 0
2R²/5 > 4
R²>10
Como R é positivo, então R> √10. Alternativa correta é a letra D.
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Um forte abraço e bons estudos.
