(UNICAMP 2018) No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se

(UNICAMP 2018) No plano cartesiano, sejam 𝐶 a circunferência de centro na origem e raio 𝑟 > 0 e 𝑠 a reta de equação 𝑥 + 3𝑦 = 10. A reta 𝑠 intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos se e somente se

a) 𝑟 > 2.   b) 𝑟 > √5.   c) 𝑟 > 3.   d) 𝑟 > √10

Solução: nesta questão de geometria analítica, precisamos ter em mente que para a equação da circunferência interceptar a reta em dois pontos distintos, ao igualarmos as equações, precisamos ter Δ>0.  Para que haja interceptação em um único ponto Δ = 0. E, para que não haja cruzamento entre elas, então Δ<0.

Estamos interessados no caso onde Δ>0, ou seja, a reta s intercepta a circunferência 𝐶 em dois pontos distintos.

A equação de C é dada por: 

(x - xC)² + (y - yC)² = R²

(x - 0)² + (y - 0)² = R²

x²  + y² = R²

E a equação da reta é 𝑥 = 10 - 3y   (aplicando x na equação de C)

(10-3y)²  + y² = R²

100 - 60y + 9y² + y² - R² = 0

10y² - 60y + 100 - R² = 0  (vamos dividir todos os coeficientes por 10)

y² - 6y + 10 - R²/10 = 0

Agora, basta forçar Δ>0

(-6)² - 4 . (1) . ( 10 - R²/10 ) > 0

36 - 4 ( 10 - R²/10 ) > 0

36 - 40 + 2R²/5 > 0

2R²/5 > 4

R²>10  

Como R é positivo, então  R> √10. Alternativa correta é a letra D.

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Um forte abraço e bons estudos.