(UFPR 2026) A equipe técnica de um time de futebol analisou a possibilidade de a final do campeonato ir para a disputa por pênaltis. Caso isso ocorra, a equipe precisará escolher 5 jogadores diferentes, dentre os 11 que estarão em campo, e também a ordem entre eles para a cobrança dos 5 primeiros pênaltis. A decisão tomada foi a seguinte: o principal atacante do time começará as cobranças, e o goleiro deverá ser um dos 5 cobradores. Além disso, nenhum dos 3 zagueiros em campo participará dessas primeiras cobranças. A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente o número de configurações possíveis para essa escolha.

Questão de análise combinatória aplicada a uma disputa por pênaltis no futebol.

Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UFPR.

Enunciado da Questão

A equipe técnica de um time de futebol analisou a possibilidade de a final do campeonato ir para a disputa por pênaltis. Caso isso ocorra, a equipe precisará escolher 5 jogadores diferentes, dentre os 11 que estarão em campo, e também a ordem entre eles para a cobrança dos 5 primeiros pênaltis. A decisão tomada foi a seguinte: o principal atacante do time começará as cobranças, e o goleiro deverá ser um dos 5 cobradores. Além disso, nenhum dos 3 zagueiros em campo participará dessas primeiras cobranças. A partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente o número de configurações possíveis para essa escolha.

(A) 280
(B) 340
(C) 480
(D) 625
(E) 864

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Fonte: questão de matemática do Vestibular UFPR 2026 - Edital n.° 28/2025, prova aplicada em 05/10/2025.

Resolução Comentada

Uma questão muito interessante de análise combinatória em um contexto de uma partida de futebol. Inicialmente, vamos fixar o principal atacante do time na primeira cobrança.  O goleiro deverá ser um dos 5 cobradores, portanto, existem 4 possibilidades para o goleiro que estará na segunda, terceira, quarta ou quinta cobrança.

Na sequência, vamos calcular quantas configurações existem com o goleiro em uma dessas possibilidades, por exemplo, vamos considerar o goleiro na segunda cobrança para fazer essa conta.  A quantidade de configurações que encontrarmos será multiplicada por 4.  Agora, vamos calcular o seguinte: para as últimas 3 cobranças, de um total inicial de 11 jogadores, vamos excluir o atacante que já está na primeira cobrança, o goleiro e os três zagueiros.  Fazendo isso, só nos restam (11 – 5) = 6 jogadores.

De acordo com o enunciado, precisamos considerar a ordem entre eles. Por exemplo, vamos pensar em três jogadores A, B e C para as três últimas cobranças.  A escolha de A na 3ª, B na 4ª e C na 5ª é diferente da escolha de C na 3ª, B na 4ª e A na 5ª.  A ordem tem que ser considerada, portanto, neste caso utilizamos a fórmula dos Arranjos Simples.

A_n,p = n!/(n–p)!

Arranjos simples de 6 elementos tomados 3 a 3.

A_6,3 = 6!/(6–3)! = (6 × 5 × 4 × 3!) / 3! = 6 × 5 × 4 = 120

Que também pode ser calculado usando o Princípio Fundamental da Contagem.

➡️ 6 jogadores possíveis na terceira cobrança;

➡️ 6 – 1 = 5 jogadores possíveis na quarta cobrança;

➡️ 5 – 1 = 4 jogadores possíveis na quinta cobrança.

Pelo princípio fundamental da contagem, esse número de configurações é

6 × 5 × 4 = 120

Reforçando que este cálculo foi feito com o goleiro na segunda cobrança, mas sabemos que existem quatro possibilidades para ele, em todas elas existem 120 configurações, portanto multiplicamos

120 × 4 = 480

Resposta Correta

O número de configurações possíveis para essa escolha é igual a 4 × A_6,3 = 4 × 6 × 5 × 4 = 480

(C) 480

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Um forte abraço e bons estudos.