(UNICAMP 2025) A poluição de rios, lagos e lagoas é um dos grandes problemas enfrentados pela sociedade moderna. Ao longo das últimas décadas, vários mecanismos têm sido utilizados para minimizar os danos causados por ela.

Uma indústria despeja numa lagoa, de forma indevida, água contaminada por um poluente a uma certa taxa. Dependendo da vazão da lagoa e da concentração do poluente, é possível verificar que a quantidade total desse contaminante na lagoa num tempo t, denotada por Q(t), é dada por

Q( t ) = 20 + 2 sen( t ) – 4 cos(t),

em que t representa o tempo medido em anos e Q(t) é medido em quilos. O gráfico que melhor representa a função Q(t), ou seja, a quantidade total do poluente na lagoa num tempo t é:

gráfico da opção A

gráfico da opção B

gráfico da opção C
gráfico da opção D
Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024.

Para resolver essa questão, primeiramente, vamos calcular Q(0).

Q(0) = 20 + 2 sen(0) – 4 cos(0)
Q(0) = 20 + 2·0 – 4·1
Q(0) = 20 – 4
Q(0) = 16

Isso já nos permite eliminar as alternativas (c) e (d), pois elas indicam que Q(0) = 20.

Ficamos com as alternativas (a) e (b).  A letra (b) tem que ser descartada, pois ela nos indica que Q(t) atinge valores inferiores a 5, o que não é possível com a função que foi proposta.  Sabemos que 2sen(t) vale no mínimo -2 e também que – 4cos(t) vale no mínimo -4.  

Sabemos também que esses dois mínimos não ocorrem simultaneamente, porém, mesmo que isso pudesse acontecer, os valores de Q(t) não poderiam ser inferiores a (20 - 2 - 4) = 14.  O gráfico da letra (b) indica que Q(t) "descerá" até valores menores do que 5, o que é um exagero.  Essa breve análise, nos permite descartar o gráfico da alternativa (b).

Alternativa correta é a letra a).

Curiosidade 1:  gráficos envolvendo soma de sen(x) e cos(x) já foram cobrados em questões anteriores da UNICAMP, aproveite e pratique com uma questão envolvendo esses gráficos.

Curiosidade 2:  é possível escrever 2 sen(t) – 4 cos(t) com um único seno ou também um único cosseno.  Este fato nos permite concluir que é incorreto o gráfico da letra (b).  Existe uma fórmula que você pode consultar no link a seguir:

https://www.ncl.ac.uk/webtemplate/ask-assets/external/maths-resources/core-mathematics/pure-maths/trigonometry/trigonometric-identities-and-formulae.html

Acesso realizado em 02/11/2024 às 16h00.

Por exemplo, 2sen(t) – 4cos(t) pode ser simplificado para:

√20 · sen(t + arctan(-2))

Assim, podemos reescrever Q(t).

Q(t) = 20 + √20 · sen(t + arctan(-2))

Podemos visualizar o gráfico de Q(t) no Google, basta entrar com o termo a seguir.

y = 20 + sqrt(20)sin(x + arctan (-2))

gráfico da função gerado pelo Google
O gráfico acima considera que x pode assumir qualquer valor real.

Já no gráfico da letra (a), t é maior ou igual a 0.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.