(UNICAMP 2024) Seja p(x) = x + 2024.  A equação

    p(x) + p(2x) + p(3x) + ... + p(2023x) + p(2024x) = 0

tem uma solução x que satisfaz:

a) x < -2.
b) -2 < x < 0.
c) 0 < x < 2.
d) x > 2.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023.

Na equação p(x) + p(2x) + p(3x) + ... + p(2023x) + p(2024x) = 0  , inicialmente, vamos trabalhar no primeiro membro, de modo a simplificá-lo.  Podemos notar o seguinte em p(x).

p(x) = x + 2024
p(2x) = 2x + 2024
p(3x) = 3x + 2024
.........
p(2023x) = 2023x + 2024
p(2024x) = 2024x + 2024

Se somarmos todos eles, vamos obter:

x + 2024 + 2x + 2024 + 3x + 2024 + .... + 2023x + 2024 + 2024x + 2024

Isto equivale a 

2024 . 2024 + (x + 2x + 3x + .... + 2023x + 2024x)

Colocando o x em evidência, temos

2024 . 2024 + x (1 + 2 + 3 + .... + 2023 + 2024)

Podemos notar que 1, 2, 3, ...., 2023, 2024 é uma progressão aritmética (PA).  O que vamos fazer é calcular a soma 1 + 2 + 3 + .... + 2023 + 2024 utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética.  

Sn = (a1 + an) . n
               2  

a1 = 1
n = 2024
an = a2024 = 2024

Aplicando estes valores na fórmula, temos

S = (1 + 2024) . 2024
               2  
S = 2025 . 1012

Agora, vamos utilizar este valor para resolver a equação.

2024 . 2024 + x ( 1 + 2 + 3 + .... + 2023 + 2024) = 0
2024 . 2024 + x ( 2025 . 1012) = 0
x ( 2025 . 1012) = - 2024 . 2024
x = (- 2024 . 2024) / (2025 . 1012)
x = (- 2 . 2024) / 2025
x = -4048/2025
x ≅ -1,9...

Este valor aproximado para x já nos permite identificar que x está no intervalo

-2 < x < 0

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.