(UNICAMP 2025) Ana está treinando as habilidades matemáticas de seu irmão mais novo. Ela escolheu dois números reais x, y e avisou para seu irmão que os números satisfazem às desigualdades | x – 2 | ≤ 2 e | y – 3 | ≤ 1 . O que o irmão de Ana pode concluir corretamente sobre esses números?

a) x² + y² ≤ 1.

b) x + y ≥ 10.

c) x + y ≤ 8.

d) x² + y² ≥ 36

Solução: uma questão muito interessante de matemática (equação modular e raciocínio lógico) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024.

Em primeiro lugar, precisamos 

resolver as inequações modulares

.

| x – 2 | ≤ 2

-2 ≤ x – 2 ≤ 2

x – 2 ≥ -2  e  x – 2 ≤ 2

Essas duas equacões têm que ser satisfeitas ao mesmo tempo.

x ≥ -2 + 2  e  x ≤ 2 + 2

x ≥ 0  e  x ≤ 4

Assim, temos que 0 ≤ x  ≤ 4

Resolvendo essa mesma inequação de uma forma mais direta.

-2 ≤ x – 2 ≤ 2
-2 + 2 ≤ x – 2 + 2 ≤ 2 + 2
0 ≤ x  ≤ 4

Vamos usar esse método para resolver a segunda inequação modular. 

| y – 3 | ≤ 1
-1 ≤ y – 3 ≤ 1
-1 + 3 ≤ y – 3 + 3 ≤ 1 + 3
2 ≤ y ≤ 4

Agora, vamos julgar as alternativas de resposta.

a) x² + y² ≤ 1.  (Falsa)

O menor valor possível de y, que é igual a 2, quando elevado ao quadrado, (2² = 4) já é suficiente para superar 1.  Além disso, y² será somado a x², uma quantia que não é negativa, portanto x² + y² não será menor ou igual a 1. 

b) x + y ≥ 10.  (Falsa)

Os maiores valores possíveis de x e y são iguais a 4.  No máximo, a soma x + y alcança (4+4) = 8.  Portanto, essa alternativa é falsa.

c) x + y ≤ 8. (Verdadeira)

Pela análise do item (b), o máximo que a soma x + y pode alcançar é 8.  Poderíamos também acrescentar um limite inferior para essa soma.  Sabemos que os menores valores possíveis para x e y, são, respectivamente, 0 e 2, logo, a soma deles valeria no mínimo 2.

d) x² + y² ≥ 36  (Falsa)

Os maiores valores possíveis de x e y são iguais a 4. Calculando:

4² + 4² = 16 + 16 = 32  (este valor não alcança 36)

Considerei essa questão bem interessante, pois esse tipo de raciocínio é muito útil em nosso cotidiano onde precisamos avaliar se duas quantias somadas poderão alcançar ou até mesmo superar um determinado valor.  

Especificamente no contexto de concursos públicos e vestibulares, em provas onde o candidato possui uma lista de 4 ou 5 opções de resposta, em alguns casos, é possível eliminar muitas delas usando esse raciocínio.  

Caso queira ver um exemplo prático, confira uma questão interessante de geometria sobre perímetro do triângulo envolvendo também progressões aritméticas.

Ou também, continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.