(UNICAMP 2024) Considere as funções 𝑓(x) = 2x + c e g(x) = 5 – 6x, com c > 0. Sejam P e Q os pontos de interseção, com o eixo y, dos gráficos de y = 𝑓(g(x)) e y = g(𝑓(x)), respectivamente. 

Para que a origem seja o ponto médio do segmento PQ, qual deverá ser o valor de c? 

a) 1. b) 2. c) 3. d) 4

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023.

Em primeiro lugar, vamos obter as funções compostas e seus pontos de interseção com o eixo y.

𝑓(g(x)) = 2 g(x) + c
𝑓(g(x)) = 2 (5 – 6x) + c
𝑓(g(x)) = 10 - 12x + c
𝑓(g(x)) = - 12x + 10 + c

Aplicando x = 0, vamos encontrar y = 10 + c, de modo que o ponto P (0, 10+c) é o ponto de interseção da 𝑓(g(x)) com o eixo y.

g(𝑓(x)) = 5 - 6 f(x)
g(𝑓(x)) = 5 - 6 (2x + c)
g(𝑓(x)) = 5 - 12x - 6c
g(𝑓(x)) = -12x + 5 - 6c

Aplicando x = 0, vamos encontrar y = 5 - 6c, de modo que o ponto Q (0, 5-6c) é o ponto de interseção da g(𝑓(x)) com o eixo y.

Para que a origem seja o ponto médio do segmento PQ, segmento que está sobre o eixo y, nós precisamos que os valores absolutos de 10+c e 5-6c sejam iguais.  Basta você pensar no seguinte exemplo, uma reta corta o eixo y no ponto A(0,2) e uma outra reta corta o eixo y no ponto B(0,-2).  A origem é o ponto médio do segmento AB, pois a distância de A até a origem vale 2, assim como a distância de B até a origem também vale 2.  Note que as ordenadas dos pontos A e B são iguais em módulo.  Vamos adotar essa estratégia para obter o valor de c.

Uma outra observação, como c>0, então  10+c é maior do que 10 e 5-6c é menor do que 5, isto quer dizer que 10+c > 5-6c

Para encontrar c, vamos resolver a seguinte equação modular.

| 5 - 6c | = 10 + c

Para resolver essa equação, precisamos resolver duas equações sem o módulo.

5 - 6c = 10 + c  ou  5 - 6c = - (10 + c )

Além disso, é necessário que (10+c) ≥ 0 isto porque o valor do |5 -6c| sempre será um valor maior ou igual a 0.  Vamos resolvê-las a seguir:

5 - 6c = 10 + c
-7c = 5
c = -5/7

***Este valor precisa ser descartado, pois c >0.

5 - 6c = - (10 + c )
5 - 6c = - 10 - c
-5c = -15
c = 3

Este valor de c satisfaz as duas condições:  (10+c) ≥ 0  e também satisfaz c > 0.

Antes de marcar alternativa (c), vamos confirmar isso aplicando c = 3 nas funções compostas.

𝑓(g(x)) = - 12x + 10 + c
𝑓(g(x)) = - 12x + 10 + 3
𝑓(g(x)) = - 12x + 13   (esta função toca o eixo y na altura +13)

g(𝑓(x)) = -12x + 5 - 6c
g(𝑓(x)) = -12x + 5 - 6.3
g(𝑓(x)) = -12x + 5 - 18
g(𝑓(x)) = -12x - 13  (esta função toca o eixo y na altura -13)

Verificamos que quando c = 3, os pontos P e Q possuem, respectivamente, as coordenadas (0, 13) e (0, -13) o que satisfaz o objetivo da questão.

Portanto, para que a origem seja o ponto médio do segmento PQ, o valor de c deverá ser igual a  3 .

Alternativa correta é a letra c).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.