( EsPCEx 2023 )  Sabendo que x ∈ ℝ, o produto dos valores de x que tornam nulo o determinante da matriz   1    2    7  0    1    2  1   |x|   x²      é igual a: a) -9  b) -3  c) 0  d) 3  e) 9 Solução:  questão de matemática da  EsPCEx (Concurso de Admissão à Escola Preparatória de Cadetes do Exército - 2023) . Prova aplicada no dia 17/09/2023. Uma questão bem interessante sobre matrizes e equação modular.  Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz e igualar sua expressão a 0.   Podemos fazer isso utilizando a Regra de Sarrus, se necessário, faça uma revisão no artigo: >>  Como Calcular o Determinante de uma Matriz 3x3 usando a Regra de Sarrus Uma vez calculado o determinante e igualado a 0, teremos a seguinte equação modular. x² - 2|x| - 3 = 0 Para resolvê-la, vamos utilizar a seguinte propriedade do módulo de u...

( UNICAMP 2024 )  Considere as funções 𝑓(x) = 2x + c e g(x) = 5 – 6x, com c > 0. Sejam P e Q os pontos de interseção, com o eixo y, dos gráficos de y = 𝑓(g(x)) e y = g(𝑓(x)), respectivamente.  Para que a origem seja o ponto médio do segmento PQ, qual deverá ser o valor de c?  a) 1. b) 2. c) 3. d) 4 Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023. Em primeiro lugar, vamos obter as funções compostas e seus pontos de interseção com o eixo y. 𝑓(g(x)) = 2 g(x) + c 𝑓(g(x)) = 2 (5 – 6x) + c 𝑓(g(x)) = 10 - 12x + c 𝑓(g(x)) = - 12x + 10 + c Aplicando x = 0, vamos encontrar y = 10 + c, de modo que o ponto P (0, 10+c) é o ponto de interseção da 𝑓(g(x)) com o eixo y. g(𝑓(x)) = 5 - 6 f(x) g(𝑓(x)) = 5 - 6 (2x + c) g(𝑓(x)) = 5 - 12x - 6c g(𝑓(x)) = -12x + 5 - 6c Aplicando x = 0, vamos encontrar y = 5 - 6c, de modo que o ponto Q (0, 5-6c) é o ponto de interseção da g(𝑓(x)) com o eixo y....

( ESA 2023 )  O valor da soma dos elementos do conjunto solução da equação |4𝑥 − 5| = 2𝑥 − 1, é igual a:  A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2022 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2023 – 24 . Prova aplicada no dia 04/09/2022. Nesta questão, vamos rapidamente recapitular  como resolver uma equação modular .   Quando temos a seguinte equação modular |x| = 6 , vamos resolvê-la por meio de outras duas equações: x = 6   ou x = -6 Note que tanto x valendo 6, quanto x valendo -6 , o módulo de x valerá 6.  Ter isso em mente será importante para resolver essa questão. O método de resolução da equação modular   |4𝑥 − 5| = 2𝑥 − 1 consiste em resolver duas equações sem o módulo, repare:  4𝑥 − 5 = + ( 2𝑥 − 1) ou também   4𝑥 − 5 = - (2𝑥 − 1) Além disso, é necessário que (2x - 1) ≥ 0 isto porque o valor do |4𝑥 − 5| s...

Caro estudante, Elaboramos uma lista com questões resolvidas sobre função modular, equação modular e inequação modular.  As questões são provenientes de vestibulares e concursos militares. Recomendamos que você reserve um tempo, resolva todos as questões e depois confira o gabarito com a resolução passo a passo. Esperamos que essa lista de exercícios resolvidos sobre função modular, equação modular e inequação modular te ajude nesse processo. Desejamos sucesso na sua preparação para vestibulares e concursos nesta disciplina da matemática. >> Lista de Exercícios de Equações, Inequações e Funções Modulares Exercício 1 -  (ESA 2022)  Observe o gráfico da função modular 𝑓: ℝ → ℝ definida pela lei 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Nessas condições, assinale a alternativa que ilustra o gráfico da função 𝑔: ℝ → ℝ definida pela lei 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 1|. a)   b)   c)    d)    e)    >> Link para a solução da questão Exercício 2 -  (EsP...

(EEAR CFS 2/2022) A soma das raízes da equação 2|x| 2 − 5|x| = 3 é um valor  a) igual a 2 b) entre 2 e 3 c) maior que 3 d) menor que 1 Solução:  questão de matemática da EEAR (Escola de Especialistas da Aeronáutica) do Exame de Admissão ao CFS 2/2022. Prova aplicada no dia 14/11/2021. Para resolver esta equação modular, vamos substituir |x| por y.  Sendo assim, temos que:  y = |x|.  E com isso a equação do segundo grau fica sendo: 2y² - 5y - 3 = 0 Vamos resolver essa equação do segundo grau usando a fórmula de Bhaskara: Δ = b² - 4ac Δ = (-5)² - 4(2)(-3) Δ = 25 +24 Δ = 49 √Δ = 7 y = (-b ± √Δ) / 2a y1 = (5 + 7)/4 = 3 y2 = (5 - 7)/4 = -2/4 = -1/2 Agora, voltamos em |x| = y |x| = 3 x = 3 ou x = -3 |x| = -1/2 Para este caso, não há solução, pois o valor de |x| tem que ser maior ou igual a zero. Finalmente, o conjunto solução é {x = -3 ou x = 3} e a soma dessas duas raízes vale (-3 + 3) = 0.   Alternativa correta é a letra d). Aproveite e contin...

(ESA 2022) O produto de todos os números reais que satisfazem a equação modular |3𝑥 − 12| = 18 é um número 𝑃. Então, o valor de 𝑃 é igual a:  A) −100 B) −20 C) −2 D) 10 E) 20 Solução: questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2021 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2022 – 23 . Prova aplicada no dia 03/10/2021. Nesta questão, pode existir uma dúvida sobre como resolver uma equação modular . O método de resolução da equação modular a seguir |3𝑥 − 12| = 18 consiste em outras duas equações sem o módulo, repare: (3x-12) = 18   ou também (3x-12) = -18 Basta você pensar num caso bem simples:  |𝑥| = 5.  Repare que x = 5 ou também x = -5 satisfazem.  Isto porque tanto o módulo de 5 quanto o módulo de -5 nos levam até 5. Resolvendo:   (3x-12) = 18  ou  (3x-12) = -18 3x = 30                  3x = -6 x = 10       ...

(UNICAMP 2018) Seja 𝑥 um número real tal que sen 𝑥 + cos 𝑥 = 0,2. Logo, | sen 𝑥 − cos 𝑥| é igual a a)  0,5  b)  0,8  c)  1,1   d) 1,4 Solução:  questão muito interessante de identidades trigonométricas que envolve também propriedades de funções modulares. sen 𝑥 + cos 𝑥 = 0,2 (sen 𝑥 + cos 𝑥)² = (0,2)² sen²x + 2.senx.cosx + cos²x = 0,04 sen²x + cos²x +  2.senx.cosx  = 0,04 1 +  2.senx.cosx  = 0,04  2.senx.cosx  = 0,04 -1  2.senx.cosx  = -0,96 Propriedade da função modular: |x²|  = |x|² = (x)² Analogamente para | sen 𝑥 − cos 𝑥|  | sen 𝑥 − cos 𝑥| ² = ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² Desenvolvendo o produto notável:  ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = sen²x - 2.senx.cosx + cos²x  ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = sen²x + cos²x - 2.senx.cosx   ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = 1 - (-0,96)  ( sen 𝑥 − cos 𝑥) ² = 1 + 0,96 = 1,96  | sen 𝑥 − cos 𝑥 |  =   1,4 Alternativa correta é ...

(CEDERJ 2020.2) Um aluno traçou num mesmo plano cartesiano os gráficos das funções afim f(x) = x +1 e modular g(x) = | 2x - 4 | + x.  Resolvendo a equação f(x) = g (x), determinam-se as abscissas dos pontos A(a,b)  e B(c,d), intersecção desses dois gráficos.  O valor de a+c é igual a: a) 2  b) 3  c) 4  d) 5 Solução:   igualando a equação da reta à equação modular teremos: x + 1 =  | 2x - 4 | + x | 2x - 4 | = 1  2x-4 = 1    ou   2x-4 = -1 x  =  5/2    ou   x  =  3/2  Somando 5/2 + 3/2 = 4 (gabarito é letra C) >> Aproveite e confira uma lista de questões resolvidas de vestibulares anteriores do CEDERJ . Um forte abraço e bons estudos.

(EsPCEx - 2019) As equações das retas paralelas à reta r: 3x+4y-1=0, que cortam a circunferência λ: x²+y²-4x-2y-20=0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente [A] 3x+4y+5=0 e 3x+4y+25=0. [B] 3x+4y-5=0 e 3x+4y-25=0. [C] 3x-4y+5=0 e 3x-4y+25=0. [D] 3x+4y-5=0 e 3x+4y+25=0. [E] 3x+4y+5=0 e 3x+4y-25=0. Solução: questão de geometria analítica da EsPCEx muito rica que envolve a aplicação de vários conhecimentos da matemática como: Equação da Circunferência Posição relativa entre reta e circunferência (retas secantes) Teorema de Pitágoras Condição de Perpendicularidade entre duas retas Cálculo da Distância de um Ponto a uma Reta Equação Modular; Em primeiro lugar, vamos obter o centro e o raio da circunferência, assim como desenhar o seu esboço. x² - 4x +4  + y² -2y + 1 = 20 + 1 + 4 (x-2)² + ( y-1)² = 5² Da equação acima, temos que a circunferência está centrada no ponto (2,1) e tem Raio = 5. Vamos esboçá-la no plano cartesiano. Precisamos encontrar retas paralel...