(EsPCEx - 2019) As equações das retas paralelas à reta r: 3x+4y-1=0, que cortam a circunferência λ: x²+y²-4x-2y-20=0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente

[A] 3x+4y+5=0 e 3x+4y+25=0.
[B] 3x+4y-5=0 e 3x+4y-25=0.
[C] 3x-4y+5=0 e 3x-4y+25=0.
[D] 3x+4y-5=0 e 3x+4y+25=0.
[E] 3x+4y+5=0 e 3x+4y-25=0.

Solução: questão de geometria analítica da EsPCEx muito rica que envolve a aplicação de vários conhecimentos da matemática como:

Equação da Circunferência
Posição relativa entre reta e circunferência (retas secantes)
Teorema de Pitágoras
Condição de Perpendicularidade entre duas retas
Cálculo da Distância de um Ponto a uma Reta
Equação Modular;

Em primeiro lugar, vamos obter o centro e o raio da circunferência, assim como desenhar o seu esboço.

x² - 4x +4 + y² -2y + 1 = 20 + 1 + 4

(x-2)² + ( y-1)² = 5²

Da equação acima, temos que a circunferência está centrada no ponto (2,1) e tem Raio = 5. Vamos esboçá-la no plano cartesiano.



Precisamos encontrar retas paralelas a r: 3x+4y-1=0  de modo que elas gerem cordas na circunferência de comprimento igual a 8.  Duas equações de reta vão atender este objetivo, uma passando abaixo do centro da circunferência e outra passando acima dele.   Se as retas são paralelas então elas devem ter o mesmo coeficiente angular da reta r: e serão do tipo  s: 3x + 4y + k = 0.Vamos esboçar uma delas, a que passaria por cima, por exemplo.


"Toda corda é perpendicular ao raio da circunferência em seu ponto médio." Fonte:  https://pt.wikipedia.org/wiki/Circunfer%C3%AAncia#Corda 
Acessado em 19/11/2020 às  13:34.

Podemos visualizar que d = 3 por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras.    

d² + 4 ² = 5²

d ² = 25 - 16

d² = 9

d = 3

Ele representa a distância do centro (2,1) até a equação de reta que forma uma corda de comprimento igual a 8.

Agora basta calcular a distância do ponto (2,1) até a reta s: 3x + 4y + k = 0 e igualar a 3.


3 = | 3.2 + 4.1 + k  | / √ (3² + 4²)
3 = | 10 + k  | / √ (25)
3 = | 10 + k  | / 5
| 10 + k  | = 15

Agora temos que resolver essa equação modular para acharmos os dois valores de k que farão parte de cada uma das duas retas buscadas.

10 + k = 15
k = 5
    ou      
     
10 + k = -15
k = -25


As retas são:  3x + 4y + 5 = 0   e   3x + 4y -25 = 0

Alternativa correta é a letra E.

Aproveite e confira lista de exercícios de geometria analítica.

Um forte abraço e bons estudos.