(UNICAMP 2025) Sejam f(x) = x – 2 e g(x) = x² – 4x funções reais. A quantidade de números x ∈ ℤ que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é:
(UNICAMP 2025) Sejam ƒ(x) = x – 2 e g(x) = x² – 4x funções reais. A quantidade de números x ∈ ℤ que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é:
a) 2.
b) 3.
c) 4.
d) 5.
Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025. Prova aplicada em 20/10/2024.
Em primeiro lugar, vamos encontrar g(ƒ(x)).
g(x) = x² – 4x
g(x) = x(x – 4)
g(ƒ(x)) = (x – 2)(x – 2 – 4)
g(ƒ(x)) = (x – 2)(x – 6)
Podemos notar que a g(ƒ(x)) é uma função do segundo grau (ou função quadrática) e está na sua forma fatorada.
Relembrando a forma fatorada da função do segundo grau.
y = a(x - x1)(x - x2)
Sendo x1 e x2 as raízes da função.
Na g(ƒ(x)), temos que a = 1 e suas raízes são 2 e 6. O coeficiente a é positivo, portanto, o gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima, formato de U. Vamos esboçar o gráfico da parábola para visualizarmos o intervalo onde g(ƒ(x)) < 0.
A g(ƒ(x)) é menor do que 0, quando 2<x<6. Atenção, tanto 2 quanto 6 não fazem parte deste intervalo. Neste intervalo, existem três números inteiros, são eles: 3,4 e 5. Portanto, a quantidade de números x ∈ ℤ que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é igual a 3.
Alternativa correta é a letra b).
Nesta resolução, o desenvolvimento foi conduzido para encontrarmos a forma fatorada da função do segundo grau. A título de curiosidade, podemos desenvolver um pouco mais a g(ƒ(x)).
g(ƒ(x)) = (x – 2)(x – 6)
g(ƒ(x)) = x² – 6x – 2x + 12
g(ƒ(x)) = x² – 8x + 12
Assim, é possível visualizar os coeficientes, a, b e c dessa função quadrática.
Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.
Um forte abraço e bons estudos.