(UNICAMP 2025) Sejam f(x) = x – 2 e g(x) = x² – 4x funções reais. A quantidade de números x ∈ ℤ que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é:

(UNICAMP 2025) Sejam ƒ(x) = x – 2 e g(x) = x² – 4x funções reais. A quantidade de números x ∈ ℤ  que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é:

a) 2.

b) 3.

c) 4.

d) 5.

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Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024.

Em primeiro lugar, vamos encontrar a expressão da função composta g(ƒ(x)).  

g(x) = x² – 4x

g(x) = x(x – 4)

g(ƒ(x)) = (x – 2)(x – 2 – 4)

g(ƒ(x)) = (x – 2)(x – 6)

Podemos notar que a g(ƒ(x)) é uma função do segundo grau (ou função quadrática) e está na sua forma fatorada.

Relembrando a forma fatorada da função do segundo grau.

y = a(x - x₁)(x - x₂)

Sendo x₁ e x₂ as raízes da função.

Na g(ƒ(x)), temos que a = 1 e suas raízes são 2 e 6.  O coeficiente a é positivo, portanto, o gráfico é uma parábola com concavidade voltada para cima, formato de U.  Vamos esboçar o gráfico da parábola para visualizarmos o intervalo onde  g(ƒ(x)) < 0.

A g(ƒ(x)) é menor do que 0, quando 2<x<6.  Atenção, tanto 2 quanto 6 não fazem parte deste intervalo.  Neste intervalo, existem três números inteiros, são eles: 3, 4 e 5.   Portanto, a quantidade de números x ∈ ℤ  que satisfazem à inequação g(ƒ(x)) < 0 é igual a 3.

Alternativa correta é a letra b).

Nesta resolução, o desenvolvimento foi conduzido para encontrarmos a forma fatorada da função do segundo grau.  A título de curiosidade, podemos desenvolver um pouco mais a g(ƒ(x)).

g(ƒ(x)) = (x – 2)(x – 6)

g(ƒ(x)) = x² – 6x – 2x + 12

g(ƒ(x)) = x² – 8x + 12

Assim, é possível visualizar os coeficientes, a, b e c dessa função quadrática.

Pratique com mais questões de função quadrática da UNICAMP

Quer continuar praticando função quadrática para o vestibular da UNICAMP? Além da forma geral y = ax² + bx + c, e da forma fatorada que vimos nesta resolução, há também a forma canônica que poderá ser muito útil na solução desses problemas. No vestibular UNICAMP 2026, a forma canônica da função do segundo grau foi utilizada para resolver um problema sobre o movimento de ataque em um jogo de voleibol. A questão apresenta o gráfico a seguir e pede para encontrar a equação a partir dos dados fornecidos.

É um problema bem interessante de equação da parábola para incluir na sua preparação para o vestibular UNICAMP. A seguir você pode conferir o enunciado completo e a resolução passo a passo. Saiba mais: ➡️ questão de equação da parábola da UNICAMP 2026.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.