(UNICAMP 2024) Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos a,b,c, com a ≤ b ≤ c. Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível. Sabendo que o graveto tinha 50 cm de comprimento e que b = a + 2, qual é o maior valor possível de a? 

a) 9,5 cm. b) 10,5 cm. c) 11,5 cm. d) 12,5 cm.

Solução: questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2024. Prova aplicada no dia 29/10/2023.

Podemos resolver essa questão analisando visualmente as alternativas de resposta, seria possível aproveitar o espaço nas alternativas, elas indicam valores para a, e ao lado, bastaria preencher os valores de b e c respectivos.


a b c
a) 9,5 11,5 29
b) 10,5 12,5 27
c) 11,5 13,5 25
d) 12,5 14,5 23

Caso necessário, você pode revisar a condição de existência de triângulos por aqui.

Note que esses valores nos permitem identificar visualmente que as medidas das alternativas (a), (b) e (c), não vão formar triângulo, isto porque a soma a + b não consegue superar o valor de c.

Sendo assim, dentre as três primeiras alternativas, o maior valor de a que não forma triângulo é a = 11,5 cm.

Nós vamos verificar na letra (d) que quando a = 12,5 cm, será possível formar um triângulo com as outras medidas b e c.

I) 12,5 + 14,5 > 23 (Verdade)
II) 12,5 + 23 > 14,5 (Verdade)
III) 14,5 + 23 > 12,5 (Verdade)

Finalmente, podemos concluir que o maior valor possível para a dentre as alternativas de resposta é 

a = 11,5 cm

Alternativa correta é a letra (c).

Vamos resolver essa questão fazendo cálculos, o problema estabelece que

a ≤ b ≤ c  e além disso eles são valores positivos.

Como a soma a + b + c = 50  e o valor de b = a + 2, então podemos escrever c como sendo 

c = 50 - a - b

c = 50 - a - a - 2

c = 50 -2a -2

c = 48 - 2a

Sabemos que b é sempre maior do que a, pois b = a + 2 unidades.  Para satisfazer a condição a ≤ b ≤ c,  precisamos garantir que b ≤ c.

a + 2 ≤ 48 - 2a

3a ≤ 46

a ≤ 46/3

Este é o valor máximo que a pode assumir neste problema, de modo a satisfazer a ≤ b ≤ c.

Agora, vamos olhar para as três inequações a seguir, provenientes da condição de existência do triângulo:

I) a + b > c
II) a + c > b
III) b + c > a

Para que a,b,c formem um triângulo, é necessário que todas elas sejam verdadeiras.

Na primeira condição, em alguns casos (a + b) pode superar c, já em outros, não. Essa condição pode assumir valor de verdadeiro ou de falso, a depender do valor de a.  

Entretanto, as condições II e III serão sempre verdadeiras.  Vamos analisá-las.

II) a + c > b

Já sabemos que c ≥ b e quando somarmos ao valor de c o valor de a, que é positivo, então a soma (a+c) será um valor maior do que b com certeza.  Nesse contexto, essa condição é sempre verdadeira.

III) b + c > a

Já sabemos que b > a e quando somarmos a b uma quantia c positiva, então (b+c) será maior do que a com certeza.  Nesse contexto, essa condição também é sempre verdadeira.

Nós sabemos que se as três são verdadeiras, então podemos formar um triângulo, mas o que nós queremos é não formar um triângulo, então, para que isso aconteça, precisamos que a primeira seja falsa.

I) a + b > c tem que ser falsa, isto quer dizer que a + b ≤ c tem que ser verdadeira.

Isto porque quando a soma dos dois menores (a+b) for menor ou igual ao valor do maior, que é o c, então não teremos como formar um triângulo com tais medidas.  

O que precisamos fazer agora é resolver essa inequação:

a + b ≤ c

a + a + 2 ≤ 48 -2a

2a + 2a ≤ 46

4a  ≤ 46

a ≤ 11,5

O maior valor que a pode assumir neste caso, de modo a não formar triângulo, é 11,5 cm.

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.