Questão de geometria que envolve o cálculo da área de um triângulo.
Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática da UNICAMP.
Enunciado da Questão
Na figura a seguir, ABCD é um quadrado com lado medindo 6, e P, Q, R e S são pontos sobre os lados deste quadrado, em que AS = BQ = 2, PB = 3 e DR = 1.
O valor da área sombreada é igual a
a) 11/3.
b) 13/3.
c) 15/4.
d) 17/4.
Resolução Comentada
Uma possibilidade de resolução para essa questão de geometria é utilizar semelhança de triângulos. Na figura a seguir, foi ilustrado o segmento PE (paralelo a BC) e identificados novos pontos, são eles: E, F e G.
Também foram adicionados os ângulos α e β, que são complementares, isto é, α + β = 90°. 💡 Assim, é possível visualizar que os triângulos PRE e PGF são semelhantes. Deste modo,
RE / GF = PE / PF
2/GF = 6/2
2/GF = 3
2 = 3GF
GF = 2/3
A área do triângulo GPQ (denotada simplesmente por AΔ) é igual a base (GQ) vezes a altura (PF) sobre 2.
AΔ = (GQ × PF)/2
- GQ = (2/3) + 3 = 11/3
- PF = 2
AΔ = [(11/3) × 2]/2
AΔ = 11/3
Resposta Correta
a) 11/3.
Resolvendo este problema com Geometria Analítica
Uma outra possibilidade de resolução é utilizar conceitos de Geometria Analítica. Como exercício, podemos analisar essa figura no plano cartesiano. Em primeiro lugar, vamos identificar as coordenadas dos principais pontos no esboço a seguir:
Para calcular a área do triângulo GPQ, precisamos da abscissa do ponto G. Os pontos R, G e P são colineares, isto é, pertencem à mesma reta. 💡 Portanto, o coeficiente angular (m1) da reta determinada pelos pontos R e P é igual ao coeficiente angular (m2) da reta determinada por R e G.
Vamos encontrá-los passo a passo:
Cálculo de m1: R(1,0) e P(3,6).
m1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)
m1 = (6 - 0)/(3 - 1)
m1 = 6/2
m1 = 3
Cálculo de m2: R(1,0) e G(a,4).
m2 = (y2 - y1)/(x2 - x1)
m2 = (4 - 0)/(a - 1)
m2 = 4/(a-1)
Igualando: m1 = m2
3 = 4/(a-1)
3a - 3 = 4
3a = 7
a = 7/3
Resolvendo de uma forma mais direta:
m1 = m2
(6 - 0)/(3 - 1) = (4 - 0)/(a - 1)
6/2 = 4 / (a-1)
a - 1 = 4/3
a = 1 + 4/3
a = 7/3
Agora, as coordenadas de G são conhecidas, e a distância entre G (7/3 , 4) e Q (6,4) é igual a 11/3, vamos verificar a seguir:
Cálculo da distância d entre os pontos G e Q (passo a passo).
d = √(x2 – x1)² + (y2 – y1)²
d = √(6 – 7/3)² + (4 – 4)²
d = √(6 – 7/3)²
d = |6 – 7/3| 👈
d = |18/3 – 7/3|
d = |11/3|
d = 11/3
Conforme o cálculo feito anteriormente, a área do triângulo GPQ será igual a [(11//3) × 2] / 2 = 11/3 ✅.
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Um forte abraço e bons estudos.
