(UNICAMP 2025) Seja (an)n∈ℕ = (a1, a2, a3,…) uma progressão aritmética de razão r e seja (s1, s2, s3,…) a sequência definida por sn = a1 + ⋅⋅⋅ + an, isto é, o seu n-ésimo termo é a soma dos n primeiros termos da sequência (an)n∈ℕ. Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência (sn)n∈ℕ , a razão da progressão aritmética (an)n∈ℕ é:

(UNICAMP 2025) Seja (a_n)_n∈ℕ = (a₁, a₂, a₃,…) uma progressão aritmética de razão r e seja (s₁, s₂, s₃,…) a sequência definida por s_n = a₁ + ⋅⋅⋅ + a_n, isto é, o seu n-ésimo termo é a soma dos n primeiros termos da sequência (a_n)_n∈ℕ. Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência (s_n)_n∈ℕ , a razão da progressão aritmética (a_n)_n∈ℕ é:

a) 5.
b) 7.
c) 9.
d) 11.

Solução: uma questão interessante de matemática (progressões aritméticas) do Vestibular UNICAMP 2025. Prova aplicada em 20/10/2024.

Nesta resolução, para simplificar os comentários, vamos fazer referência à progressão aritmética (a_n)_n∈ℕ simplesmente por PA.

E também, referenciar a sequência (s_n)_n∈ℕ simplesmente por S.

Vamos explorá-las um pouco mais usando alguns exemplos. Por meio dos termos a1, a2, a3 e a4 da PA, vamos calcular os termos de S correspondentes.

s1 = a1

s2 = a1 + a2

s3 = a1 + a2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

Analisando os termos de s, fica nítido que podemos escrevê-los usando os termos anteriores.

s2 = a1 + a2

s1 = a1, então efetuamos essa troca.

s2 = s1 + a2

Vamos fazer o mesmo com s3 e com s4.

s3 = a1 + a2 + a3

s3 = s2 + a3

s4 = a1 + a2 + a3 + a4

s4 = s3 + a4

Neste momento, já é possível perceber que

s5 = s4 + a5

s6 = s5 + a6 ( e assim sucessivamente)

Basicamente, para calcular o s6, nós podemos calcular a1+a2+a3+a4+a5+a6 ou também, se já tivermos o valor de s5, basta calcular s5 + a6.

Outra observação importante, para a resolução dessa questão, é a seguinte:

s6 = s5 + a6

Vamos isolar a6

a6 = s6 - s5

Podemos notar que s6 e s5 são termos consecutivos da S, e calculando s6 - s5, teremos o valor do a6.

Do mesmo modo, calculando, por exemplo

s7 - s6 vai resultar no a7.

s8 - s7 vai resultar no a8 e assim sucessivamente.

Portanto, com três termos consecutivos da S, são eles 168, 220 e 279, ao calcularmos

220 - 168 = 52 é um termo da PA
279 - 220 = 59 é um termo da PA

Sabemos que 52 e 59 são dois termos consecutivos da PA. Logo, para obtermos a razão da PA, basta calcular: 59-52 = 7.

Alternativa correta é a letra b).

Aproveite e continue praticando com uma lista de questões de matemática da UNICAMP.

Um forte abraço e bons estudos.