Resolução da questão sobre sequências da UERJ 2027. Confira a seguir o enunciado e a solução passo a passo dessa questão de matemática.

Questão de Progressão Aritmética em um jogo entre quatro amigos. Confira a seguir o enunciado e a resolução passo a passo dessa questão de matemática do ENEM .

(FUVEST 2025)  Seja ( a n ) uma progressão aritmética cujo primeiro termo é a 1 e a razão 𝑟, ambos números reais. É possível construir uma outra sequência ( b n ), em que o primeiro termo é um número real b 1 e com a seguinte lei de formação  b n+1 = b n + a n   , sendo 𝑛 > 0 um número natural.  Por exemplo, se   b 1  = 0 e ( a n ) = (1,3,5,7,9,11, ...), tem-se ( b n ) = (0,1,4,9,16,25, ...). Com base em tais informações, os valores de  a 1  e 𝑟 foram escolhidos de forma que ( b n ) também seja uma progressão aritmética de razão 𝑟′. Nessas condições, é correto afirmar: (A) r ' =  a 1 (B)  r ' = 2 a 1 (C)  r ' = r (D)  r ' = 2 r (E)  r ' =  b 1  –  a 1 Solução:  questão da Prova de Conhecimentos Gerais - FUVEST 2025 , aplicada em 17/11/2024. Uma questão interessante sobre sequências, vamos analisar a lei de formação da sequência  ( b n ). b n+1  = b n  + a n ...

(UNICAMP 2025)  Seja ( a n ) n ∈ℕ = ( a 1 , a 2 , a 3 ,…) uma progressão aritmética de razão r e seja ( s 1 , s 2 , s 3 ,…) a sequência definida por s n = a 1 + ⋅⋅⋅ + a n , isto é, o seu n -ésimo termo é a soma dos n primeiros termos da sequência ( a n ) n ∈ℕ . Sabendo que 168, 220 e 279 são termos consecutivos da sequência ( s n ) n ∈ℕ  , a razão da progressão aritmética ( a n ) n ∈ℕ  é: a) 5. b) 7. c) 9. d) 11. Solução:  uma questão interessante de matemática (progressões aritméticas) do Vestibular UNICAMP 2025.  Prova aplicada em 20/10/2024. Nesta resolução, para simplificar os comentários, vamos fazer referência à progressão aritmética  ( a n ) n ∈ℕ    simplesmente por PA . E também, referenciar a   sequência ( s n ) n ∈ℕ   simplesmente por S . Vamos explorá-las um pouco mais usando alguns exemplos.  Por meio dos termos a1, a2, a3 e a4 da PA, vamos calcular os termos de S correspondentes. s1 = a1 ...

(ESA 2025)  As figuras abaixo foram desenhadas segundo uma progressão geométrica. Seguindo este padrão, qual é a fração que representa a região não sombreada da FIGURA 8? a) 1/512 b) 1/256 c) 1/128 d) 127/128 e) 255/256 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2024 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2025 – 26.  Prova aplicada em 15/09/2024. Uma questão de progressão geométrica bem interessante, nesta resolução, vamos considerar o seguinte: X é a fração que representa a região NÃO sombreada da FIGURA 8;  Y é a fração que representa a região sombreada da FIGURA 8. Atenção, pois nosso objetivo é encontrar X, para simplificar os comentários, vamos nos referir a "fração que representa a região NÃO sombreada da FIGURA 8"  por "(área clara)/(área total)". "fração que representa a região sombreada  da FIGURA 8" por "(área escura)/(área total)...

(UECE 2024.2)  Se n é um número inteiro positivo, define-se fatorial de n, denotado n!, que é expresso por n! = 1.2.3. . . n. Por exemplo, 3! = 1.2.3 = 6; 5! = 1.2.3.4.5 = 120. Assim, é correto afirmar que a quantidade de zeros com que termina o número 15! é A) 6. B) 3. C) 5. D) 4. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada em 28/04/2024. Para descobrirmos a quantidade de zeros com que termina o número 15!, precisamos decompor esse número e ver a quantidade de vezes que o 10 aparece nessa decomposição.  Sabemos que 10 = 2·5, então, toda vez que contabilizarmos um par 2·5, temos um 10. Antes de resolver a questão, vamos ver alguns exemplos com números menores.  Por exemplo, o número 330 termina com apenas um zero, nós já sabemos disso, pois estamos vendo o número prontinho ali, diferentemente do 15! que é um número enorme que precisaríamos calcular. Va...

( ESA 2024 )  Considerando log 2 = t/2, assinale a alternativa que apresenta o valor de 𝑥, sabendo que: a) 𝑥 =     t    2 + 1 b) 𝑥 =     t    2   - 1 c) 𝑥 =     t    3 + 1 d) 𝑥 =     t    3 + 2 e) 𝑥 =     t    3   - 2 Solução:  questão de matemática da ESA (Escola de Sargentos das Armas) do Concurso de Admissão 2023 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2024 – 25 . Prova aplicada em 08/10/2023. Nessa questão, vamos utilizar a seguinte propriedade dos logaritmos: log a (b/c) = log a b - log a c Obs:  nos logaritmos do enunciado, a base foi omitida, então, consideramos que a base é igual a 10.  Ou seja, log 2 é o mesmo que log 10  2. Vamos desenvolver a soma dos logaritmos dados na expressão do enunciado: x = log...

(UECE 2024.1)  Considere as matrizes Se d n é o determinante da matriz A n , então, a soma d 1 + d 2 + d 3 + ........ + d n +........ é igual a a) 1/3. b) 1/2. c) 2/3. d) 3/4. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2024.1,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 19/11/2023. Uma questão muito interessante que envolve matrizes e progressão geométrica (PG).   A matriz A é uma matriz diagonal, e para calcular A 2 , A 3 , A 4 , ..., A n   basta elevar os elementos da diagonal principal a 2, 3, 4, ..., n, respectivamente.  Além disso, o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. O determinante de A é igual a (1/2) x (1/2)   =  1/4  A matriz A 2  é a matriz a seguir  (1/2)²       0     0        (1/2)² Resultando em   1/4   ...

(ENEM 2023 Reaplicação/PPL)  Uma empresa fundada em 2005, ao longo dos anos ganhou popularidade e aumentou consideravelmente sua atuação na economia do país. Os lucros anuais e seu padrão de crescimento podem ser observados na tabela. Supondo que se tenha mantido o padrão observado na tabela para os 5 anos seguintes, estima-se que o lucro total dessa empresa, de 2005 a 2014, em milhar de real, foi  A) 120. B) 134. C) 1 025. D) 2 056. E) 2 074. Solução:  questão de matemática do  ENEM 2023 - Reaplicação/PPL,   prova aplicada no dia 13/12/2023. Uma questão interessante de Progressão Geométrica (PG).  Podemos observar um padrão nos lucros  anuais dessa empresa.    3 = 2 + 1 5 = 4 + 1 9 = 8 + 1 17 = 16 + 1 33 = 32 + 1 (....) Note que temos uma PG (2, 4, 8, 16, 32) de razão 2 e para cada elemento dessa PG, somamos + 1 e temos o lucro anual. No primeiro ano, que é o ano de 2005, o primeiro elemento da PG que é 2, somado com 1, resulta em 3 d...

(ENEM 2023 Reaplicação/PPL)  Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade V de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.  A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; a segunda indicou a retirada da terça parte do que restou; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na n-ésima medição, a retirada da (n + 1)-ésima parte do que restou.  Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.  Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivament...

(FUVEST 2024)  Números figurados são números que expressam o total de pontos em certas configurações geométricas. Um exemplo de números figurados são os triangulares, os quais são números naturais que podem ser representados geometricamente na forma de um triângulo. Os quatro primeiros números triangulares estão ilustrados na figura I. Apesar de o número 1 não representar um triângulo, ele é considerado um número triangular. Outro exemplo de número figurado é o número oblongo, o qual representa o total de pontos de um quadro retangular em que o número de colunas é uma unidade a mais do que o número de linhas. Os quatro primeiros números oblongos estão ilustrados na figura II. Apesar de o número 2 não representar um quadro retangular, ele é considerado um número oblongo. A respeito de números triangulares e números oblongos, assinale a alternativa correta.  (A) 162 é o 15º número triangular. (B) O 13º número triangular é primo e o 30º número oblongo é ímpar. (C) 156 não é um nú...

(ENEM 2023)  As características culturais variam de povo para povo. Há notícias de um povo que possuía formas de contar diferentes das nossas, como indicado no quadrinho a seguir. Segundo o padrão de contagem indicado na figura, as representações dos numerais cinco e sete, nessa cultura, devem ser, respectivamente,  A) okosa urapum urapum urapum e okosa okosa urapum urapum urapum. B) okosa okosa urapum e okosa okosa okosa okosa urapum. C) okosa okosa urapum e okosa okosa okosa urapum. D) okosa urapum urapum e okosa urapum okosa urapum urapum. E) okosa okosa urapum e okosa okosa okosa okosa. Solução:  questão de matemática do  ENEM 2023,   prova aplicada no dia 12/11/2023. Podemos notar que o sistema de numeração apresentado no enunciado só possui dois símbolos, são eles "urapum" e "okosa".  urapum equivale ao nosso número 1 okosa equivale ao nosso número 2 E o número 3, como eles representam?  Eles não possuem um símbolo exclusivo para represe...

(ENEM 2023)  Os números figurados pentagonais provavelmente foram introduzidos pelos pitagóricos por volta do século V a.C. As figuras ilustram como obter os seis primeiros deles, sendo os demais obtidos seguindo o mesmo padrão geométrico. O oitavo número pentagonal é  A) 59. B) 83. C) 86. D) 89. E) 92. Solução:  questão de matemática do  ENEM 2023,   prova aplicada no dia 12/11/2023. Analisando os seis primeiros números pentagonais, podemos observar o seguinte: 1 5 = 1 + 4 12 = 5 + 7 22 = 12 + 10 35 = 22 + 13 51 = 35 + 16 Os números estão sendo formados por meio da soma dos anteriores com  +4, +7, +10, +13, +16 , ... Mantendo esse padrão, então as somas vão continuar com + 19, + 22, +25, + 28 , ...... Uma vez que o sexto número pentagonal é 51 = 35 + 16 , então, se somarmos a ele + 19 , chegaremos no sétimo.  Novamente, somando + 22 , chegaremos no oitavo número pentagonal. 51 + 19 + 22 = 92 ...

(Fuzileiro Naval 2024)  Qual o décimo termo da sequência (1, 1 , 2 , 3, 5, 8 , ...) ?  A) 10 B) 13 C) 21 D) 34 E) 55 Solução:  questão do Concurso ao Curso de Formação de Soldados Fuzileiros Navais Turmas I e II/2024, prova aplicada no dia 09/05/2023. Nesta sequência, do 3° termo em diante, o valor de um determinado termo é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele.   Vamos ver isso passo a passo:  ( 1 , 1 , 2 , 3, 5, 8 , ...) Note que  2  é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele, ou seja,  2  =  1  +  1   Perceba que a mesma coisa acontece com o 4° termo da sequência: (1, 1 , 2 , 3 , 5, 8, ...) Note que  3  é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores a ele, ou seja,  3  =  2  +  1   Se você repetir essa análise para o 5° termo, e também para os termos seguintes, notará que isso se repete.  Deste modo, para encontrarmos...

(UERJ 2024)  Progressão harmônica é uma sequência finita ou infinita de números diferentes de zero cujos inversos formam uma progressão aritmética (PA). Observe o exemplo: (1, 1/2, 1/3, 1/4, ... ) é uma progressão harmônica porque (1, 2, 3, 4, ...) é uma PA. Na progressão harmônica  (1/2, 1/4, 1/6, ...), o vigésimo primeiro termo equivale a: a) 1/48 b) 1/42 c) 1/36 d) 1/24 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2024 (2º Exame de Qualificação),  prova aplicada no dia 03/09/2023. Na progressão harmônica  (1/2, 1/4, 1/6, ...), os inversos formam a seguinte PA: (2, 4, 6, .... ) Nesta PA, temos que >> O primeiro termo: a 1 = 2; >> A razão: r = 2; >> Queremos descobrir o 21º termo, ou seja, queremos o elemento a 21  , para isso, podemos utilizar a fórmula do n-ésimo termo da PA. a n = a 1 + (n-1) . r a 21 = 2 + (21-1) . 2 a 21   = 2 + (20) . 2 a 21   = 2 + 40 a 21   = 42 Na progressão ...

(UECE 2023.2)  A seguinte sequência de números inteiros positivos está apresentada de forma ordenada, tendo sido organizada seguindo uma lógica estrutural muito usual: 8, 27, 125, 343, 1331, 2197, p, q, ....  Assim, é correto afirmar que a soma p + q é igual a  A) 27711. B) 11772. C) 12277. D) 22177. Solução:  questão de matemática do Vestibular da Universidade Estadual do Ceará (UECE) 2023.2,  prova de conhecimentos gerais da 1ª Fase, aplicada no dia 30/04/2023. Uma questão interessante sobre sequências numéricas, podemos perceber que a lista de números do enunciado é formada pelos números primos {2,3,5,7,11,13} elevados ao cubo.  Vejamos: 8 = 2 3 27 = 3 3 125 = 5 3 343 = 7 3 1331 = 11 3 2197 = 13 3 Seguindo essa lógica estrutural, p será igual a 17 3 e q será igual a 19 3 . p = 17 3  = 4913 q = 19 3  = 6859 p + q = 4913 + 6859 = 11 772 Alternativa correta é a letra b). Aproveite e continue praticando com uma lista de questões d...

(UERJ 2024)  A sequência (a n ) = (0, 0, 5, 5, 0, ...), em que n ∈ IN, é definida por: { a 1 = a 2 = 0 a 3 = 5 a n = x, sendo x o algarismo da unidade simples da soma a n-1 + a n-2 + a n-3 A soma dos 100 primeiros elementos da sequência (a n ) é igual a:  (A) 125 (B) 175 (C) 200 (D) 250 Solução:  questão de matemática do  Vestibular UERJ 2024 (1º Exame de Qualificação),  prova aplicada no dia 04/06/2023. De acordo com a definição, os 3 primeiros elementos da sequência são respectivamente:  0,0,5. A partir daí, os termos subsequentes são obtidos por meio da seguinte operação:  somamos os 3 termos anteriores e do resultado dessa soma, ficamos apenas com o último dígito do número encontrado, que é o das unidades simples. Vamos fazer isso passo a passo: a1 | a2 | a3  0   |  0   |  5    Para obter o a4, somamos a3+a2+a1 = 5 + 0 + 0 = 5 e deste resultado ficamos com o último...

(FATEC 2023)  As profissões de mágico e de matemático podem dialogar entre si. Um exemplo disso são as ordens cíclicas – sequências que se repetem – utilizadas em truques com baralhos.  Suponha que, antes de realizar um truque de adivinhação, um mágico disponha as cartas de um baralho na ordem cíclica representada na figura. Durante a apresentação, são convidados ao palco três espectadores. O mágico pede a um dos espectadores que separe o baralho de cartas em duas partes (corte), colocando a parte de baixo em cima da outra.  O mágico então irá distribuir 3 cartas em sequência aos espectadores convidados. Assim, ele pega a primeira carta do topo do baralho e entrega ao primeiro espectador. Em seguida, pega a próxima carta e entrega ao segundo espectador e, por fim, retira a carta seguinte e entrega ao terceiro espectador.  Ele pergunta ao primeiro espectador somente o símbolo que identifica a carta que está com ele, o qual responde que tem um K.  Para o segundo e...

(ENEM 2022)  Um atleta iniciou seu treinamento visando as competições de fim de ano. Seu treinamento consiste em cinco tipos diferentes de treinos: treino T1 , treino T2 , treino T3 , treino T4 e treino T5 . A sequência dos treinamentos deve seguir esta ordem: A letra R significa repouso. Após completar a sequência de treinamentos, o atleta começa novamente a sequência a partir do treino T1 e segue a ordem descrita. Após 24 semanas completas de treinamento, se dará o início das competições. A sequência de treinamentos que o atleta realizará na 24ª semana de treinos é A) T3 R T4 R R T5 R. B) R T3 R T4 R R T5. C) R T4 R R T5 R T1. D) R R T5 R T1 R R. E) R T5 R T1 R R T2.  Solução:  questão de matemática do  ENEM 2022,   prova aplicada no dia 20/11/2022. Note que a série de treinamentos possui 13 dias e vai se repetindo, de modo que no 14º dia começa tudo novamente, segue até o 26° dia, e no 27° começa tudo novamente...   Nosso objetivo é saber...

(UNICAMP 2023) Leia o texto a seguir para responder às questões 51 e 52.  Uma transformação de Möbius é um quociente de polinômios de grau 1. Essas transformações são muito importantes em computação gráfica e também na área da engenharia conhecida como “processamento de sinais”.  Considere a função  y = f(x) = x + 1                  x - 1 definida para x ∈ ℝ , x ≠ 1, que é uma versão simplificada de uma transformação de Möbius. Questão 52)   Considere a sequência x 1 , x 2 , ..., definida por x 1  = 6, e para cada n ≥ 1, temos x n+1 = f(x n ), ou seja,  x 1  = 6, x 2  = f(x 1 ) = 7/5, x 3 = f(x 2 ), e assim sucessivamente. Então, a soma dos 100 primeiros termos desta sequência vale a) 140. b) 370. c) 600. d) 740. Solução:  questão de matemática do Vestibular UNICAMP 2023. Prova aplicada no dia 06/11/2022. O enunciado informou que x1 = 6 e calculou x2 = 7/5, vamos agora encontrar x3:...